《Linear Algebra and Its Applications》-chaper2-矩阵代数-分块矩阵

分块矩阵的概念：

  在矩阵的实际应用中，为了形式的更加简化我们将一个较大的矩阵的内部进行一定的划分，使之成为几个小矩阵，然后在表大矩阵的时候，矩阵的内部元素就用小矩阵代替。

  进行了这一步简化，我们就要分块后的矩阵满足怎样的运算规律。

 

  分块矩阵的运算：

  分块矩阵的标量加减：很容易想到，只要大矩阵的维度相同，划分方法相同，两个分块矩阵的加减就是对应小矩阵的加减。

  分块矩阵的乘法：其实在引出矩阵乘法的时候，我们就能够提供这样一种观点，基于自然的矩阵(列向量的表示形式)和R^n向量的乘法，我们将这里的R^n向量的基本元素再换成行向量，遵循相同的计算法则，我们就能够引出矩阵乘法的规则。

  下面给出更加量化的定理与证明过程。

 

  那么其实我们采用相同的策略，做出大胆的推测：将小矩阵视为每一个元素，然后按照基本的矩阵乘法的规则进行运算，得到的结果就是分块矩阵相乘的结果。

  证明方法朴素而简单，我们将一个大矩阵分块按照这种推测进行运算，而后再按照朴素的矩阵乘法进行运算，比较两次结果，便可以检验我们的推测是否正确。

 

  分块矩阵也是矩阵，而矩阵我们则会关注其逆矩阵，下面来简单的说一下分块矩阵的逆怎么求。

  其实很简单，基于基本的分块矩阵乘法规则和逆矩阵的定义，即可进行运算。

 

  上述过程最终形式是以分块的小矩阵表示的，具有一定的通用性。在实际运算的过程中如果面临这种分块方式，可以直接利用这个结果，只需分别求出三个非0的分块小矩阵的逆矩阵即可。