《Linear Algebra and Its Applications》-chaper2-矩阵的逆

 

  矩阵的逆：

  逆矩阵的定义：

  类比于我们在研究实数的时候回去讨论一个数的倒数，对应的，在矩阵运算中，当AB = I的时候，A,B互称为逆矩阵，这里的I类似实数中的1，表示单位矩阵，即对角线是1其余位置是0的n x n的矩阵。

 

  逆矩阵的唯一性：

  逆矩阵是像实数的倒数一样唯一存在的么？我们不妨简单地证明一下。假设A的两个逆矩阵是B，C。根据定义我们有AB=I，AC=I，结合基本的矩阵运算法则，容易看到B=C=IA^-1,由此能够看到逆矩阵是唯一存在的。

  或者我们可以从代数系统的角度去审视矩阵及其运算，然后去证明逆元的唯一性，这里涉及抽象代数的基本知识，暂不做具体论述。

 

  如何求解逆矩阵：

  如何求解逆矩阵这个问题其实能够分为两部分，在求解2阶矩阵的时候有一个简便的算法但是其证明要基于伴随矩阵，并且随着矩阵阶数的增加变得不再使用，因此这里暂且不介绍这种方法在后面介绍行列式的时候会给出详细的证明。

  另外一部分就是在求解3阶及其以上的逆矩阵时使用的通用算法。

  首先我们给出一条引理：

                      

 

  那么现在给出求逆矩阵的算法的理论基础：

  

 

  对于该定理的证明，如果想要充分理解的话，这之前我们不得不再去讨论矩阵的初等行变换(之前曾经提及)和初等矩阵E的概念。

  首先我们给出初等行变换的定义：

  

  其实这里的定义和线性方程组紧密相连，我们将矩阵A看做是增广矩阵或者说是齐次的线性方程组，再对应一下初等变化的定义，就会发现所谓的初等变化的定义与高斯消元求解线性方程组有着极其紧密的联系。

  随后我们再引入一个在求逆矩阵过程中扮演一个很重要角色的定理：

 

   简而言之，这个定理3就是在说，你对矩阵A施加任意一种初等行变换，都存在一个初等矩阵E，使得EA的结果就是A施加初等行变换后的结果。

  

 

 

  

   正是基于这个定理的成立，我们能够得到求解逆矩阵的一般算法以及判断矩阵是否可逆的充要条件，以及一系列的矩阵可逆定理。  

 

  下面继续来讨论和可逆矩阵有关的性质：