动态规划的泛式解题思路

  写在前面：笔者将参加16年北大的暑期acm的集训，考虑到拿到比较好的学习效果，笔者开这个专栏用于整理一下15年集训的课件和资料。考虑到时间非常有限(一个月)，加上考试缠身，很难以做到每个专题都结合例题代码，因此对于笔者比较熟悉的专题(dp、数论、组合、博弈)主要以整理思想和方法为主，对于没学过的专题以建立裸体模型为主。

  利用动态规划解题的泛式思路：

1. 将原问题分解为子问题 
 把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同 或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解 决(数字三角形例）。  子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求 解一次。  

2. 确定状态 
 在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相 关的各个变量的一组取值，称之为一个“状态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。 
    所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态 空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个 问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。         整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需 时间。             在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个 状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。    
   用动态规划解题，经常碰到的情况是，K个整型变量能 构成一个状态（如数字三角形中的行号和列号这两个变量 构成“状态”）。如果这K个整型变量的取值范围分别是 N1, N2, ……Nk，那么，我们就可以用一个K维的数组 array[N1] [N2]……[Nk]来存储各个状态的“值”。这个 “值”未必就是一个整数或浮点数，可能是需要一个结构 才能表示的，那么array就可以是一个结构数组。一个 “状态”下的“值”通常会是一个或多个子问题的解。

3. 确定一些初始状态（边界状态）的值 
       以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值 就是底边数字值。 
4. 确定状态转移方程 
       定义出什么是“状态”，以及在该 “状态”下的“值”后，就要 找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(“人人为我”递推型)。状 态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

 

  能用动规解决的问题的特点 
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。

2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程 的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪 种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。