《离散数学》-图论6.8

短程线、距离：记Γ是vi到vi的一掉路径，Γi = min{Γ1、Γ2、Γ3…}，那么Γi就是vi和vj之间的短程线，其长度即是vi与vj之间的距离。

 

点割集、割点：记p(G)为G的连通度，对于点集V的子集V’，V’任意的子集V’’，满足p(G-V’’)>p(G)，那么V便成为一个点割集，当某个点割集中只有一个点v时，v称为割点。

 

边割集、割边(桥)：类比点割集、割点有相似的概念。

 

点连通度：用κ(G)表示，k(G) = min{|V’| | V’是点割集或使G-V’是有一个顶点}

边连通度：与点连通度有相似的定义，用λ(G)表示。

 

从定义出发，我们容易得到下面几条知识点：

(1):对于平凡图(只有一个顶点)，κ(G) = λ(G) = 0；

(2):对于完全图Kn，不存在点割集，因此κ(G) = n-1.(这也是为什么点连通度的定义会多出来一个或情况)

(3)若G中存在割点，κ(G) = 1,；同样如果存在割边，λ(G) = 1；

 

而对于κ(G) 、λ(G)、δ(G),有如下的不等式成立(这里暂且折叠证明)。

            κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G)

 

  有向图的连通性：弱连通图、单向连通图、强连通图。

  弱连通图：去掉有向图的方向性而得到的无向图，如果是连通图，那么称其为弱连通图。

单向连通图：有向图任意两点至少存在一个点到另一个点的通路。

强连通图：有向图中任意两点都相互可达。

能够看到，弱连通图、单向连通图、强连通图的连通性是依次增强的，即强连通图一定是单向连通图、单向连通图一定是弱连通图，反之则不然。

这里记录两个简单的判断有向图连通性的方法。

判别法一：如果有向图G中存在一条遍历所有顶点的回路，则可判断其为强连通图。

判别法二：如果有向图G中存在一条遍历所有顶点的通路，则可判断其为弱连通图。

其正确性是不证自明的，但是我们应该注意到，这两条判断条件是作为充分不必要条件出现的。

 

图的矩阵表达：

  首先概述一下几种表示图的矩阵，它其实可以分成两大类，一种是表征顶点和边关联的次数，比如关联矩阵；另一种是表征顶点与顶点之间的关系，比如邻接矩阵和可达矩阵，不同的是前者两个点之间的直接通路的数目，而后者则是记录两点之间是否存在直接通路。

 

无向图的关联矩阵：设图G有n个顶点m条边，则形成n行m列矩阵M，Mij表示vi和ej关联的次数(即可取0、1、2)。

 

有向无环图的关联矩阵：

与无向图关联矩阵类似，但是这里矩阵的取值稍有不同，对于Mij的取值，有如下的三种情况：

(1)    vi与ej不关联，Mij =  0；

(2)    vi是ei的起点，Mij =  1；

(3)    vi是ei的重点，Mij= -1；

(4)     

有向图的邻接矩阵：对于Aij，表示vi->vj（直接连通）的边数

  关于有向图的邻接矩阵，这里有一条非常重要的定理：

  设A为有向图D的邻接矩阵，D的定点及V={v1,v2,v3…vn},则 A^l  (l≥1)的元素aij是vi到vj长度为l的通路数，  是D中长度为l的通路数，其中  是D中长度为l的回路数。

  证明：考虑利用数学归纳法。

  归纳基础：当m = 1，有邻接矩阵的定义，结论显然成立。

  归纳步骤：假设当m = l – 1时我们给出的定理成立，那么现在我们考虑得到长度为l的路径，我们需要找到所有的点vk，使其满足<vi,vk> = l , <vk,vj> = 1,即可以用如下的等式表达：

    

                                                           

  能够看到，这刚好是与矩阵运算的法则呼应起来的，那么基于m=l-1时成立，m = l也成立，由此归纳完成，定理证毕。

 

有向图的可达矩阵：对于Pij，满足(vi可达vj) ? (Pij = 1) : (Pij = 0).