《训练指南》——6.10

Uva11174：

  村民排队：村子里现在有n(1≤n≤40000)个人，有多少种方式可以把它们排成一列，使得没有人站在他父亲的前面(有些人的父亲可能不在村子里)？输入n和每个人的父亲编号，输出方案总数除以1000000007的余数。

  分析：首先我们应该能够看到的是，这种有关家庭关系的图，需要借助基本的一个数据结构——树，但是这里由于各个祖先不同，会形成森林，但是为了更好处理，我们将森林中的根节点的上面构造一个虚拟根，记作v0，这样就形成了一棵树。

  我们设f[i]是以节点vi为根，得到的排列情况书，即f[0]就是这道题目的答案。

  那么我们现在来考察f[0]究竟怎么计算，这里用到基本的计数原理。我们假设虚拟根v0下有k个儿子v1、v2、v3…vk，相当于有k个家族，则我们可以通过如下的步骤得到f[0]：

(i)                 我们将每个家族的人视为一样的元素.

(ii)               得到排列数之后再乘上这个家族符合要求的排列数.

这里记s[i]是第i个家族的人数，也就是说以vi为根的所有节点的和(包括vi自己)，那么完成第一个步骤，我们得到的方法数是

                                                             

  而完成第二个步骤，结合分步乘法原理，应该是如下的式子：

                                             

                                                     

  这样我们便得到了一个关于f[n]的递推式，如下：

             

    其中k是v0的儿子个数，如果我们设置一个数组son[i]记录vi的儿子儿子数，ci表示节点的i个儿子在树结构中的序号，因此我们会得到更加具有普遍性的递推式子：

           

    那么现在将②迭代到①当中，会发现一直递推下去，再考虑对于叶节点vj，有f[j]  = 1，因此我们能够得到如下的线性表达式：

            

                          

  那么基于这个线性表达式，接下来我们需要考虑的事情就很明了了：

  问题一：如何基于树结构找到s[i]呢，这是最基本的数据结构的问题。

  问题二：题目要求输出f[0] % mod，而根据数论当中同余运算的性质，涉及出发应该借助逆元，而结合mod的大小和s[i]的取值，有gcd(mod , s[i]),我们也是能够得到s[i]在关于mod下一定存在逆元的。

  总结一下，这道题目还是一道非常好的题目的，它涉及了组合计数的基本原理、递推、整理数学公式、基本树形数据结构和数论当中的逆元，是一道非常综合的题目。这里笔者由于临近考试周时间紧张的原因，在如何编码实现计算s[i]和求解逆元上先不做讨论，以后有时间了再补充。