《离散数学》-图论6.7

图论里的一系列概念、性质、定理。

  无向图中的平行边：字面理解，即是两个顶点相同的边，互称为平行边。

  无向图重数：无向图中平行边的条数成为重数，这里要注意，是所有平行边的和而不是最大的一组平行边。

  有向图中的平行边：与无向图平行边的定义很类似，但是这里要求起点和终点是一致的(即方向要一致)。

  多重图：含有平行边的图。

  简单图：不含平行边和自环的图。容易看到，对于n阶简单图满足Δ≤n-1。

  无向完全图：任意两个顶点之间都存在边，用Kn来表示。基于其定义，我们可知边数m = C(n,2)

  有向完全图：任意两个顶点之间存在方向相反的两条边，边数m=2C(n,2)。

  k-正则图(基于无向简单图) ： 各顶点度数都是k的无向简单图，结合我们之前学习过的握手定理，边数m = ∑d(vi)/2 = nk/2.

 

  圈图：即存在一条路径<v1,v2,…vi,v1>，使得从v1出发可以回到v1.

  轮图：基于圈图，在圈内部放置一个点，并将这个点连接圈上的每一个点。

 

  子图、真子图、生成子图：它们的概念理解并不困难，需要注意的是生成子图要求点集是原图的点的全集。

  补图:设n阶图为G，则满足G∪G’ = Kn边数最少的G’，即G的补图。

 

  图的连通性：

  设图G中有一条路径<v1,e1,v2,e2,v3…,vn>

  首先：如果n=1，则形成一条回路

  简单通路(回路)：如果该路径的边没有重复经过，则这是一条简单通路。

  初级通路(回路)：如果该路径的边和点都没有重复经过，则这是一条初级通路

  复杂通路(回路)：如果该路径中边出现重复，那么这是一条复杂通路。

  通过定义我们容易看到，初级通路一定是简单通路，反之则不成立。

 

  定理：在一个n阶图中，若从顶点u到v(u≠v)存在通路，则从u到v存在长度小于等于n-1的初级通路。

  证明：设u到v的一条路径是<v1,e1,v2,e2,…,vl>，如果这条路径点没有重复出现，那么显然这是一条初级通路，而边数也至多是n-1.否则，必然存在t<s，vs = vt(v、s大小表示访问的先后顺序)，删掉路径<vs,es…vt>，反复操作，则必然可以得到一条初级通路。证毕。

 

 

  Ex1：画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。

  对于画非同构图的问题，我们考虑先得到所有度数列，然后再一一画出图。而对于该题，有无向简单图的限制，则Δ≤3，再结合握手定理的推论，则我们容易得到如下几种度数列。

  ①1 1 1 3

  ②1 1 2 2

 ③0 2 2 2

 随后依次画出图即可。需要注意的是，相同的度数列也可以画出通构图，我们通过下一个例题来给出例子。

Ex2：画出1,1,,12,2,3为度数列的3个非同构无向简单图。

这个过程有点类似高中有机化学中找同分异构体，而在具体到这个题目当中，其实很类似基于一个线性的结构(5个顶点)，然后挂一个甲基，很显然，考虑对称性有2-甲基和3-甲基两种非同构情况，这就给出了一个相同度数列但是图是非同构的情形。