《训练指南》——6.6

第二章：数学基础

 

  基本计数方法：

  在这一章节中有关基本的计数原理、容斥原理、二项式系数恒等式这里不再体现，这个专栏主要通过具体的题目来提升对理论知识的应用。

  下面我们来看两个基本计数问题：

  ex1:可重复选择的组合：有n个不同元素，每个元素可以选多次，一共选k个元素有多少方法？

分析：设第i种元素选取的数量是xi，则我们可以将问题转化成x1+x2+…xn = k的非负整数解(x1,x2,….,xn)的组数。其实此时我们就容易想到插入隔板的方法，我们赋予这个等式一个组合含义，即像k个1形成的k-1个间隔中插入n-1个隔板，这个动作的情况数即是n元解的组数，但是我们列出计数公式发现是C(k-1,n-1)，虽然在《具体数学》一书中给出了这种组合数的含义，但是在这里对于我们来说并不好理解。

  我们采用迂回一点的策略，建立一一映射关系：yi = xi+1，则原方程等价转化成y1 + y2…yn = k + n的n元非负整数解的个数，这样一来，我们依然采用上面插入隔板的原理，可以得到计数公式C(n+k-1,n-1) = C(n+k-1,k)。

 

  ex2：单色三角形：给定空间里的n(n≤1000)个点，其中没有三点共线。每两个点之间都用红色或者黑色线段连接(可以通过矩阵的形式给出关系图)。求3条边同色的三角形个数。

  分析：暴力法显然理论可解，但是时间复杂度是O(n^3)，我们需要优化。从反面考虑，去寻求非单色三角形，我们容易看到，非单色三角形必有两个点，这两个点连接的两个不同颜色的边，那么我们从点连接边的情况来考虑，对于第i个点vi，我们假设有ai个红边，显然vi连接着n-1-ai个黑边，那么由此我们就能构造出ai(n-1-ai)个非单色三角形，结合我们刚才观察的结果，会发现这种计算模式会把每个非单色三角形计算两次，即最终非单色三角形的个数是1/2∑ai(n-1-ai)。

 

   下面让我们看一些竞赛中的组合计数题目。

   Uva11538：

   给出n x m的棋盘，放入两个皇后，能够形成多少种局面，使得这两个皇后能够互相攻击。

   分析：既然这道题没有告诉你正方形的棋盘能够旋转之类的限制，那么我们就不去考虑用polya原理去重。

   首先基于国际象棋中皇后的走法，它走水平线、竖直线、斜线，因此这里为了使两个皇后能够互相攻击，我们就从这三种情况进行分析，我们分别记这三种情况为A(n,m)、B(n,m)、C(n,m)。假设n是行，m是列。

  (1)    水平线：先放入一个皇后，有nm种方法，则另一个皇后有m-1种方法。即A(n,m) = mn(m-1)

  (2)    竖直线：先放入一个皇后，有nm种方法，则另一个皇后有n-1种方法。即B(n,m) = nm(n-1)

  (3)    斜线：我们先假设一个大小关系——m>n，因为这将限制我们得到的斜线的组数，那么基于这个假设，我们将得到如下的对角线长度序列：

  1,2,3,4…n-2,n-1,n,n,n…n,n,n(m-n+1个n)…n-1,n-2,4,3,2,1，另外还要考虑到这样的对角线有两组。

  那么我们易知，C(n,m) = 2[2∑i(i-1) + (m-n+1)n(n-1)]。

  而对于一开始我们对于m>n的假设，我们这样处理，将传进来的两个参数较大的赋给m，这样就用一个公式便可以完成计算了。

  然后进行化简，即可编程实现。

  简单的参考代码如下。

 

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

 

int main()

{

     long long n ,m;

     while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!= EOF)

    {

         if(n == 0 && m == 0)

            break;

         if(m < n)//保证n≤m

           swap(n,m);

         printf("%lld\n",m*n*(m+n-2) + 2*n*(n-1)*(3*m-n-1)/3);

     }

}