《度量》——大小和形状

  《度量》这本书是最近哥伦比亚大学数学博士、曾在加州大学、伯利克里分校任教的保罗·洛克哈特所著，文中对阐述数学问题的思路较之传统的方式有其非常独到的方面，笔者按照章节，将这本书按照现实与想象、论数学问题、大小和形状、时间和空间四部分来介绍这部分内容。

  大小和形状这一章节记录了作者对几何一些独到的简介，而且全书最大的一个特点是，没有教科书般的严肃，没有看似死板的定义，同问都是充满兴趣和探险精神的询问和思考，他的宗旨只有一个，让读者感受到研究数学的快乐。

  那么我们开始正文，主要是对书中给出的问题的相应的讨论和分析。

 

  正n角星的内角：

 

  乍一看这个问题似乎很不好想啊，求正n角星每个角的度数，其实等价于我们求正n角星n个尖角的度数和。

  那么如何求正n角星尖角度数和呢？

  显然首先我们要搞清楚什么是正n角星，我们容易画出正五角星，六角星呢？显然我们需要一个简单的定义一下什么是正n角星。

  定义：我们令由正n边形和n个等腰三角形组成的能够一笔画出的图形称为正n角星。(这里可能牵扯一些芒星的概念，但是简化处理这里我们这样定义)

  那么问题来了，从这个定义出发，我们需要画出一些图，五角星是否就这一种画法？六角星呢？

  如果认为只有一种画法，那就有些太too young too simple了，请看下面几组图。

 

  显而易见，对于满足定义的n角星，我们可以画出多种图案，这就告诉我们对于正n角星的尖叫和，就不仅仅是一个答案了，而可以说是一排答案。

  那么为了研究的继续进行，我们总得像个办法把正n角星给画出来吧，我们观察其作图的本质，其实不难归纳出规律，对于每个正n角星，它都是从n个顶点的某个点开始，间隔相同数目的点，顺时针(或者逆时针)连接起来，最终回到起始的点。当然，如果说出现了连接一圈就回到了起始点，那么便从起始点开始继续往下连接，例如上面这个图左数第二个图。

  那么我们更加代数化的来表示正n角星的所有情况，我们从间隔的点数入手，设x为正n角星形成过程中相邻访问的两个点之间间隔的点数，考虑到顺指针和逆时针的对称性，即x = i和x = n - 2 - i形成的正n角星是等价的，由此我们能够看到：

  当n是奇数，x=0,1,2,..,(n-3)/2.即有(n-3)/2+1种画法。

  当n是偶数，x=0,1,2,...(n-2)/2,即有(n-2)/2+1种画法。

  那么下面分情况讨论，我们从一些简单的例子出发，当n=5，x = 0,1。对于x=0，没有什么号分析的，就是一个正5边形。对于x=1，我们如果做其外接圆，然后利用圆周当中圆心角是圆周角的二倍，可以轻松得到此时的内角和是180°。

  那么现在我们想将这种机制推广到更加一般的情况，我们更加抽象的看，之所以能够得到180°，是因为x=1决定的，相邻访问的两个点中间恰好隔了一个点，这导致每个尖角的两条边的所经过的另外个顶点是相邻的(注意这里是相邻而不是相邻访问)，这导致其在做圆心角的时候，不会发生重复，故可以得到180°的答案。推广起来，即对于n是奇数，x=(n-3)/2的情况，都符合这种情况，尖叫和都是180°。

  那么进一步探究，x=(n-3)/2-1呢，这导致的结果是，每一个尖角所在边经过的另外2个顶点，中间隔了2个顶点(这完全可以通过模拟一笔画过程计算出来)，这会导致在做圆心角的时候，恰好圆心角被算了3次，也就是多了2个圆周，即这种情况尖角和是180°+360°=540°。

  类似的，当x=(n-3)/2-2，尖叫和又会增加360°。

  而最终当x=0，我们能够看到按照上述的方法我们会得到尖叫和为180 + (n-3)/2 * 360  = 180(n-2),其实恰好对应着x=0所形成的正n边形。

  类似的，当n是偶数的时候，我们可以做类似的处理，只不过对于x=(n-2)/2这种起始情况，我们能够看到，它某个尖角所在边经过的另外2个顶点是相隔了一个顶点的，也就是说，这种情况做圆周角，将会得到两个圆周，则尖角的内角和应该是360°。

  由此，这个问题得到了很圆满的解决。

  当n是奇数的时候，尖角和为180°、540°、...、180 + (n-3)/2 * 360°.

  当n是偶数的时候，尖角和为360°、720°、...、360 + (n-2)/2 * 360°. 

 

  有多少个正多面体：

  对于正四面体、正六面体大家都很熟悉，我们给正多面体下一个定义，各个面互相全等，任意一个顶点的平面展开图都一样的多面体叫做正多面体，那么，空间中有多少正多面体呢？

  我们考虑利用偏代数的方法来解决这个问题。

  设正多面体顶点数是V，面数是F，棱数是E，每个顶点有m条棱，每个面是正n边形。

  则容易看到nF = 2E ①

               mV = 2E ②

  即F= 2E/n,V=2E/m.

  带入欧拉公式V+F-E = 2，有2E/m+2E/n-E=2,整理可得：

  1/m+1/n=1/2+1/E.   ③

  由于E是整数所以1/E>0,考虑到n≥3，有1/m>1/2 - 1/3 = 1/6,即m<6,而m>2,所以m的取值是3、4、5.

  对称的， 由于E是整数所以1/E>0，考虑到m≥3，有1/n>1/2 - 1/3 = 1/6,即n<6,而n>2,所以n的取值是3、4、5.

  根据整数对(m,n),依据③得出可行的E。

  最终我们能够看到，空间中的正多面体只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

 

  各个角都相等的三角形是否相似呢？

  这个问题似乎有些弱智，因为我们有“两角相等两三角形便相似”的相似三角形判定定理，但是它是怎么来的呢，这里我们不妨追本溯源一下。

  首先要给出关于相似的概念，我们将各边所对应成的恒定比例的两个图形叫做是相似的。从这个定义出发，我们容易证明，三边互相平行的两个三角形是相似的。

  因此这里我们只需要将三个角相等的两个三角形想办法转化成三边平行即可，我们不妨根据这三角相等的性质尝试模拟两个三角形的生成过程，这个方法在解决很多证明问题的时候都非常好用。

  首先我们基于两个相等的角，我们让这两个相等的角的某个边重合，则这两个角剩余的两边必然平行，随后添加两个三角形各自的第三条边，由于必须保证角相等，那么由平行线的性质，则两个三角形的第三边也是互为平行的关系。那么对于一开始两个相等的角的重合边，显然也可视为互相平行。得证。

 

  我们再来探讨一个基础而又简单的问题，对于长为a、宽为b的矩形，你是否有过好奇：面积为什么是ab呢？

  也许你会感觉这种好奇有些莫名其妙，然而这其实就是《度量》想带给我们的启蒙思想，它想带给我们不同于应试数学教育的一些东西。我们想，s面积本是很具象的东西，而长宽a、b也是具象的，a、b 、s怎么就通过一个公式s = ab联系了起来呢？

  这其实蕴藏了数学当中一个很基础但在应试的体制下很少有人了解到的思想——单位元思想。我们在某个领域(显然这里是几何学)给出相关的定义的时候，不能缺少的是量化计算的单位。在数学当中，所谓的“单位”并不是物理学当中所谓的m、N、m/s的实际单位，而是单位圆、单位矩阵、单位向量这种单位。这表明，在数学当中，我们往往并不关注研究对象的实际大小，而是看他们所谓的相对大小，即一种比例，这其实是和本书《度量》想要体现的一个很浅显但是重要的思想。

  那么回归我们的问题，我们定义一个面积为1的小正方形，则我们将其一个边拉长a倍，那么容易看到现在矩形的面积变成了a，同样的，然后将长为a的边的邻边再拉伸b倍，面积变成了ab，我们也得到了长宽分别为a、b的矩形。

 

  度量三角形的面积：海伦公式

  其实在大多数c语言课本当中，都会有输入三角形三边以求其面积的历程，这里我们通常会用到利用三角形三条边a、b、c直接计算面积的海伦公式：s = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，p = 1/2(a+b+c),那么你是否层好奇，这个公式是如何推导而来的呢？

  我们首先给出一个图(h是三角形的高，三角形的三边分别为a、b、c)。

 

  容易得到如下的三个等式。

  a^2 = x^2 + h^2    ①

  b^2 = y^2 + h^2    ②

  c = x + y                 ③

  下面我们进行代数化的化简运算，以期通过这三个方程组来表示出面积s。

  ①-②得(x+y)(x-y) = a^2 - b^2，带入③有如下等式成立。

  x = c/2 + (a^2-b^2)/2c  ④

  y = c/2 -  (a^2-b^2)/2c  ⑤

  则有h^2 = a^2 - x^2      ⑥

  其实到这里，我们已经完成了任务，能够看到，利用s = 1/2ch，h我们已经可以用a、b、c表示出来。但是其形式太过丑陋和吓人，因此我们的工作还远远没有结束，我们应该让计算公式变得更美一些。

  考虑到h以平方形式出现，为了形式的简洁，我们尝试从s^2出发进行化简。

  s^2 = (1/2ch)^2，接下来我们将h^2代入。

 

  然后利用平方差公式进行多次化简。

  最终可以得到这样一种很对称的形式：16s^2 = (a+c+b)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a).

  即s = sqrt[(a+b+c)/2 * (a+c-b)/2 * (a+b-c)/2 *(b+c-a)/2],为了表达得更加简洁，我们令1/2(a+b+c) = p,带入其中，便可得到一开始我们给出的海伦公式了。

  纵观整个推导过程，可以看到是一个几何和代数紧密结合的一个过程。其实这种思维在上文证明空间中有几种正多面体的时候已经初现端倪，在以后的探讨中，这种思维也将使用的更加频繁。

 

  平方差公式：

  几千年前的古巴比伦人就懂得将几何图形和代数结合起来以得到一些代数上的运算公式，平方差公式就是一个例子。他们发现，任何两个数字的乘积都可以化成平方差的形式。

 

 

  我们基于一个长、宽分别是a、b的矩形，尝试将其像我们比较喜欢的正方形(这样对应着代数运算的平方数，对于计算是方便的)，我们从长截取宽度为(a-b)/2的小矩形，然后将这个(a-b)/2的边接到b边上去，这样我们会形成一个不规则图案。一条边长是a – (a-b)/2 = (a+b)/2，另一条边长是b+(a-b)/2 = (a+b)/2，看来我们遇到了一些振奋人心的事情，我们继续来看那个小缺口，一条边长是(a-b)/2，而另一条边长则是(a+b)/2 – b = (a-b)/2，由此我们看到这个变化后的不规则图形，其实是一个边长为(a+b)/2的正方形去掉了一个边长为(a-b)/2的小正方形。我们从代数的角度来描述上面这个过程，即ab = [(a+b)/2]^2 – [(a-b)/2]^2,如果我们令(a+b)/2=x,(a-b)/2=y,带入即可得我们从小学就很熟悉的平方差公式：

  x^2 – y^2 = (x+y)(x-y).