组合数学及其应用——鸽巢原理
回想到高中的的组合学中，有这样的问题，12个班中有13个人参加IOI的名额(前提每班至少出一个人)，那么这会有几种分法？
一个很简单的思路就是把这13个名额摊开，然后拿11个隔板插到这13个名额形成的12个空隙里，然后用组合数的公式即可计算。而鸽巢原理的简单形式就和这个模型有联系。
我们知道，如果把12只鸽子放到11个巢里面，显然有一个巢会出现两只鸽子，这显而易见，同时也是鸽巢原理的最简单的形式。
它的证明也和简单，如果我们假设11个巢穴里最多有1个鸽子，那么各自的总数最多有11个，这一12只鸽子的已知条件是不吻合的，所以假设是错误的，一定会有一个巢穴会出现2个鸽子。
这里需要补充的一点的是，由于不同的人举出不同的模型来引出原理，因此原理的名字可能有所不同，鸽巢原理还可以叫做抽屉原理，鞋盒原理。
基于对鸽巢原理最简单模型的理解，我们再举出几个引用来稍微更进一步的理解这个原理的应用。
应用1：在13个人当中，一定存在2个人，他们的生日在同一个月。
类似的模型个以举出很多，比如366个人当中一定存在两个人是同一天生日的。 它和上面最简单的模型是一样的，这里证明就不再累述了。
应用2：假设有n对夫妇，那么最少挑出多少人，一定能保证挑出一对夫妇呢？
显然是n+1个人，答案显而易见。
应用3：给定m个整数a1，a2，a3……am，存在某个连续的序列(a1，a2，a3叫做连续序列，a1，a3，a4不是连续序列)，这个序列的各个元素的和能够整除m。
我们先考虑所有的连续序列，有很多种情况，从a1开始组合，总数有m + (m - 1) + (m + 2)……+1,但是我们这里只需考虑从a1开始组合的连续序列。也就是考虑如下m个数。 a1 a1+a2 a1+a2+a3 a1+a2+a3+a4 …… (a1+a2+a3……+am) 我们知道，任何一个数对m取余，可能的结果只能是[0,m-1]上的整数，而如果等于零，显然这里就符合题意了，所以我们在考虑没有零的情况。
这m个数对m取余，有m-1种情况，所以存在某两个数，对m取余的结果是一样的，假设为r，有以下等式。
a1+a2……+ak = pm + r a1+a2……+al = qm + r 将这两个式子做减法，即可得证。
应用4：一位国际象棋大师有11周来准备锦标赛，他计划每天至少下1局棋，但是考虑到疲劳度的问题，他一个周不会下超过12局棋。证明存在连续的若干天，这期间象棋大师恰好下了21局棋盘。
根据题意我们不难给出表示大师第i天下棋的总局数的一个序列——a1,a2,a3……a77，并且根据题意可知他是严格的递增的。因此我们得到下面的不等式。
0<a1<a2<a3……<a77<132 序列1
同时我们在构造另外一个序列 a1+21，a2+21，a3+21……a77+21 ，将会得到下面的不等式。
21<a1+21<a2+21……<a77+21<154 序列2
现在来看a1 a2 a3 ……a77 a1+21 a2+21 a3+21 ……a77+21这154个数，他们的取值范围是[1,153]，我们现在要任意从中取2个数字——ai，aj。那么是存在ai = aj的情况的，而根据已知的序列(a1 a2 a3 ……a77 )是严格单调，因此不可能在序列1或序列2同时取出ai,aj，因此我们一定是从序列1取出一个数，在序列2中取出一个数，所以有ai = aj = ak + 21，此时得证。
应用5：从1，2，3……200中显出101个整数。证明：在所选的这些整数之间存在两个这样的整数。其中一个可被另一个整除。
我们从另一个角度来考虑这些数字，任何一个数字可以表示成2^k * a，其中k>=0 , a是奇数，对于[1,200],中的整数，a的所有情况有1,3,5,……199这100种情况，而我们要抽取101个数字，那么显然，会有两个数表示成如下的形式。 2^r * a , 2^s * a 而r != s ，此时命题得证。
应用6：设m和n是互素的正整数，并设a和b为整数，其中0<=a<=m-1 ,0<= b<=n-1。于是存在正整数x，使得x除以m的余数为a，并且x除以n的余数为b；也就是说存在一个x = pm + a， 同时x = qm + b。 为了证明我们考虑如下n个数 a a + m a+ 2m a+3m ……a+(n-1)m这n个数。
我们假设，这n个数里没有整除n的数(如果有的话，就符合题意了)。那么现在有n个数，而余数却有n-1种情况，根据鸽巢原理，有如下式子成立。 n = pm + a = qn + r ① n = im + a = jn + r ② 俩式相减，我们得到(p-i)m = (q - j)n，由于n与m互素，所以n应该是p-i的因子，而p≤n-1，显然n不可能是p-i的因子，假设是不成立的。所以在这n个数中，必须要出现一个对n取余等于零的数，此时命题得证。
下面给出鸽巢原理更加一般的形式：
鸽巢原理常被用于一些最大最小值的问题当中
Ex1：
一个果篮装有苹果、香蕉和句子。为了保证篮子中至少有8个苹果或者至少有6个香蕉或者至少有9个橘子，则放入篮子中的水果的最小件是多少？
分析：这个问题实际上反向利用了一般形式的鸽巢原理，即一般形式的鸽巢原理具有充要性，换言之，定理1可以如下等价的表述形式：
即这个问题的答案是8+6+9-3+1 = 21
先来看一个简单的鸽巢原理的应用。
Your job is to help the children and present a solution.
题目大意：给你一个含有n个元素的序列a1、a2、a3、a4……an和一个整数c，让你找一个连续的区间段(a1,a2,a3是一个连续的区间段，a1,a3,a5则不是)，使得这个区间段的所有元素的和可以整除c。 数理分析：为了解决这个问题我们考虑下面n个数字 a1 a1+a2 a1+a2+a3 a1+a2+a3+a4 a1+a2+a3+a4+a5 a1+a2+a3+a4+a5……an。
题干中明显给出c≤n，那我们就假设c=n吧。显然任意一个整数对c求余会得到[0,c-1]上的整数，下面我们分两种情况来分析。
⑴如果这n个数字中对c取余得0，那么显然满足了条件。
⑵如果这n个数字对c取余没有得0的情况，那么这n个数字中，要出现n-1种取余结果，那么显然，必定存在某两个数字对c取余的余数是相同的，我们便会得到下面的等式。(这里假设k > l,想一想，为什么不会相等)
a1+a2+a3+……ak = p*c + r ①
a1+a2+a3+……al = q*c + r ② 两式相减我们会得到，a(l+1) + a(l+2)……+a(k) = (p - q)*c。 显然此时我们找到了我们想要的区间。
编程实现：基于上面的数理分析，再编程实现上，我们需要得到上面讨论的这n个数，然后把取模的结果作为下标，数值作为题设给定序列的下标，在构造一个记录数组Mod，这题就可以迎刃而解。
ac代码如下。
#include<stdio.h> #include<string.h> int main() { int Sum[100005] , Mod[100005] , A[100005]; int c , n; int i; int right , left; while(~scanf("%d%d",&c , &n) && (c || n)) { memset(Sum , 0 , sizeof(Sum)); memset(Mod , -1 , sizeof(Mod)); Mod[0] = 0; for(i = 1;i <= n;i++) { scanf("%d",&A[i]); Sum[i] = (Sum[i - 1] + A[i]) % c; if(Mod[Sum[i]] == -1) Mod[Sum[i]] = i; else { left = Mod[Sum[i]]; right = i; } } for(i = left + 1;i <= right;i++) { if(i == right) printf("%d\n",i); else printf("%d ",i); } } }
来看一道非常简单的鸽巢原理的题目。(Problem source : 1205)
数理分析：这里就是一个上文中我们引出鸽巢原理举出的例子。我们从糖果数最多的“某种糖果”开始分析（因为如果数目不是最多的，是非常容易构造出不间隔的序列，而数目更多的某种糖果是否是不间隔的你是不得而知的）。
我们假设最多的糖果数目是maxn，我们将这maxn个糖果排成一列，显然构造出了maxn + 1个间隔，而我们只需要找到其他种类的糖果填掉中间的maxn - 1个间隔，就可以构造出我们所需要的序列，这里就是体现了鸽巢原理的地方。
编程实现：数理上的分析是非常简单的，但实际编程如何进行比较呢？在输入各种糖果并找出最大糖果数是十分好操作的，找到了最大的糖果数maxn，再如何进行比较呢？ 这里我们想，我们还需要的是maxn - 1个糖果数，有了这些糖果，我们就能构造出所需要的序列，而这maxn - 1个糖果是否是同一种糖果是无关紧要的一件事情，所以我们会得到一个判断式：
sum - maxn ≥ maxn - 1.
可能有人会疑问，这maxn - 1个糖果的种类真的是无关紧要的么？如果某种糖果数大于了maxn，不就存在了不满足的情况了么？ 针对第一个疑问，的确是无关紧要，因为这maxn - 1 个糖果的作用是分隔那maxn - 1个糖果 ，放入“间隔”的同时其实自己也被“隔起来了”，所以糖果种类在maxn - 1个中并不起作用。而针对第二个疑问，就更显而易见来了，如果某种糖果大于maxn个，显然这与我们先前的假设最大糖果数是maxn是不符的，因此无需给予考。
代码如下。
#include<stdio.h> int main() { int n , T , maxn , i , num; __int64 sum; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%d",&n); maxn = 0 , sum = 0; while(n--) { scanf("%d",&num); if(num > maxn) maxn = num; sum += num; } if(sum - maxn >= maxn - 1) printf("Yes\n"); else printf("No\n"); } }
参考系：《组合数学》 Richard A.Brualdi
