《Mathematical Olympiad——组合数学》——染色问题
问题一:
将一些石头放入10行14列的矩形方格表内,允许在每个单元格内放入石头的数目多于1块,然后发现每一行每一列上均有奇数块石头。若将矩形方格表上的单元格相间地染为黑色和白色,证明:在黑色单元格上石头的数目共有偶数块。
分析:我们考虑利用反证法来完成证明。即黑色单元格上的石头数目共有奇数块。
我们先假设该矩形方格奇行奇列、偶行偶列是黑色,并设奇行奇列有k1个奇数个石子的格子,偶行偶列有k2个奇数个石子的格子,奇行偶列有k3个奇数个的格子。
由每一行共有奇数块石头,共有10行,有5个奇数行,可知奇数行的石子数目是奇数,有k1 + k3 ≡ 1(mod 2) ①
类似的,由每一列共有奇数块石头,共有14列,共有7个偶数列,可是偶数列的石头数目是奇数,有k3 + k2 ≡1(mod 2) ②
基于反证过程的假设,即k1 + k2 ≡ 1(mod 2) ③
①+②+③,有2(k1+k2+k3) ≡ 1(mod 2),显然是不可能的,因此假设是不成立的。
同样的如果我们假设矩阵方格奇行偶列、偶行奇列是黑色,做相同的分析,在设置变量的时候需要作出相应的改动,便可以得到相同的结论。
证毕。
问题二:
将圆周上的所有点要么染成黑色,要么染成白色。
(1)证明:存在一个等腰三角形,其顶点同色。
(2)是否存在一个正三角形,其顶点同色?
分析:对于(1),我们首先基于一个内接正五边形,由抽屉原理可知,五个顶点中必有三个顶点同色,又由于任意选取正五边形的三个顶点,都会组成一个等腰三角形,得证。
对于(2),我们只要想出一种特殊情况即可。我们找到圆上三个三等分点,将三个区段分别涂成黑、黑、白,那么很容易看到,因为等边三角形的三个顶点是圆的三等分点,所以必然分别分布在三个区间上,因此可知,顶点同色的正三角形是不一定存在的。