向量组与向量空间

1、n个有次序的数，组成的数组称为n维向量，这n个数称作分量，第i个数称作第i个分量。由若干个同维向量可组成向量组

2、向量组A与系数k的线性组合表示为：

     如果：

     则称向量b可以有向量组X线性表示

3、向量组B可以由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B)，而两个向量组等价的条件是R(A)=R(B) =R(A,B)

4、线性相关与线性无关：如果存在不全为0的数k1,k2...km，使得

     则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关。对于m=2的情况，即只有两个向量a1,a2，线性相关的几何意义是二者共线，对于m=3的情况，其意义是3向量共面。判断线性相关的条件是R小于向量的个数。

5、线性相关与方程组，线性相关的代数意义即为齐次线性方程组:Ax=0有非零解。即R(A)小于未知数的个数

6、最大无关组所含向量的个数，为向量组的秩，也即在求最大无关组时，先求出向量组的秩，再根据R的大小选取无关组。

7、齐次线性方程组的基础解系与通解。如一个齐次线性方程组的系数矩阵R(A)如下图形式，并且经过行变换化为最简式。

可以得到如下形式，其中x3与x4是自由未知数

令第一组数据x3=1,x4=-3；第二组数据x3=0,x4=4，可得基础解析（个数等于n-r）

其通解为：

8、非齐次线性方程组的基础解系与通解。如一个非齐次线性方程组的系数矩阵R(A)如下图形式，并且经过行变换化为最简式。

我们带入方程得到：

x3为自由未知数，我们为了得到一个解，令x3=0，则：

接下来求基础解系，因为r=3，则基础解系的个数为n-4=4-3=1。求基础解系时要忽略参数，将方程组考虑为齐次线性方程组，则：

其中我们令x3=1，则方程的基础解系为:

而原非齐次线性方程组的通解为：

9、向量空间：设V为n维向量的集合，若V非空，且对于加法及乘数运算封闭，则称集合V为向量空间。

10、齐次线性方程组的解集为向量空间，称为解空间；非齐次线性方程组的解不是向量空间。

11、设V为向量空间，若r个向量a1,a2,...,ar属于V，且满足a1,a2,...,ar线性无关，V中的任意一个向量都可由这r个向量表示，则称a1,a2,...,ar是向量空间的一个基，r称为向量空间的维数，V为r维向量空间。如果把向量空间看做向量组，那么V的基就是最大无关组，r就是V的秩。

12、由于空间V中的任一向量X都可由基a1,a2,...ar来表示为：

        则称k1,k1,...,kr为X在基a1,a2,...,ar的坐标

13、由矩阵运算第15条，我们可以推出：若r个向量所组成的矩阵非满秩，即其对应行列式的值为0，则几个向量线性相关；若其矩阵满秩，行列式值非0，则r个向量线性无关，其组成的空间V称为r维空间，这r个向量称为V的一个基。