好题一则

题意：给定 $n$ ，对所有 $k \in [0, n]$ ，求满足：1的连续段的长度最大值恰好为 k 的01串个数。 $n \leq 10^{6}$

场上思路： $d p_{x, y} :$ 长度为 $x$ ，最长的1连续段 len = y 的串个数。用了一些前缀和，从 $O (n^{4})$ 优化到了 $O (n^{3})$ 。

存在一些大力代数推导的容斥方法。但我不会（update：现在会了，在后面）。在题解区学到了一种很好的 DP 方法。记录一下。

首先是对dp状态设计的优化：考虑对每个 $k$ 分别求答案。同时我们把恰好这个限制用前缀和改成**至多 **。

设 $f_{n}$ 表示长为 $n$ 的串，末尾为1， $g_{n}$ 末尾为0。

f_{n} = \sum_{i = 1}^{k} g_{n - i}

g_{n} = \sum_{i = 0}^{n - 1} f_{i}

这里有一堆和式，考虑前缀和：

F_{n} = F_{n - 1} + G_{n - 1} - G_{n - k - 1}

G_{n} = G_{n - 1} + F_{n - 1}

联立一下，得到：

G_{n} = 2 G_{n - 1} - G_{n - k - 2}

边界： $G_{0} = 1, G_{- n} = 0 (n > 0)$

怎么快速算这个东西呢？

考虑这个东西的组合意义：你最初站在原点，权值为1，每次要么往后走1步，权值翻倍，要么跳k+2步，权值取反。问所有到 $n$ 处的方案的权值之和。

那么我们直接枚举进行了几次跳就行了。其实这个东西和容斥的最后式子很像。得到：

G_{n} = \sum_{i = 0}^{⌊ n / (k + 2) ⌋} (\binom{n - i (k + 2) + i}{i}) 2^{n - i (k + 2)} (- 1)^{i}

复杂度n乘调和级数。

upd：补了一下容斥做法：

还是把恰好这个限制用前缀和转化成至多。

枚举有几个0。我们不去固定每段长度（即乘上 $(\binom{n}{i})$ ），因为这样是不好分析每一段具体的限制的。我们采用划分段的思想：这些0把序列划分成了 i+1 个全 1 段。这样就可以很方便的处理有多少段不合法。

枚举不合法的段的个数 j，这些段至少有 k+1 个1。影响方案的只有「哪些段不合法」以及「剩下的1的分布」。容易得到：

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{⌊ n / k ⌋} (- 1)^{j} (\binom{i + 1}{j}) (\binom{n - i - j (k + 1) + i}{i})

现在我们有了一个 $O (n^{2} \log n)$ 的做法。

考虑优化这个式子。可以发现，j 的限制很严格，而 i 的限制较宽松，同时也很影响复杂度。但是这个很烦的 i 在两个组合数中分别各出现了一次。能不能让它少出现一次呢？

有个公式： $(\binom{a}{b}) (\binom{b}{c}) = (\binom{a}{c}) (\binom{a - c}{b - c})$ 。组合意义：左边：从 a 个物品中先选 b 个，再从这 b 个中选 c 个；右边：先选出那 c 个，然后再选剩下的 b-c 个。

这个式子就把出现两次的 b 转化成了一个。而这个b的位置和 i 是一样的！

首先把 $(\binom{i + 1}{j})$ 拆开： $(\binom{i}{j}) (\binom{n - i - j (k + 1) + i}{i}) + (\binom{i}{j - 1}) (\binom{n - i - j (k + 1) + i}{i})$

应用上面的式子，得到：

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{⌊ n / k ⌋} (- 1)^{j} ((\binom{n - j (k + 1)}{j}) (\binom{n - j (k + 2)}{i - j}) + (\binom{n - j (k + 1)}{j - 1}) (\binom{n - j (k + 2) + 1}{i - j + 1}))

然后再观察一下这个式子，考虑含 i 项的取值，可以发现，两个式子中含 i 项下标都是能把有值的区间遍历完的。即： $\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n - j (k + 2)}{i - j}) = 2^{n - j (k + 2)}$ 。另一个同理。

那么我们就消去了一个求和号，剩下就很简单了。

总结一下两个方法：

首先是最初的转化。可以发现两个方法都把恰好转成了至多。我考场上就没有想到这点。有的时候松的限制好做，有的时候紧的限制好做。需要具体分析。
然后是一个方向的问题： $O (n \log n)$ 的复杂度是可以接受的。第一个方法或许不明显，但那个递推式也算露出端倪。第二个方法的 n / k 这个上界几乎明示了这一点，因此向这个方向想是自然的。
然后就是一些代数推导/组合意义。整个过程其实并不困难（甚至是很典），但这样一个题对于计数入门还说还是不错的。