P2757 [国家集训队] 等差子序列 与 CF452F Permutation
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讲解 P2757 [国家集训队] 等差子序列 和 CF452F Permutation。
考虑枚举中间数，将问题转化为区间判定是否回文，使用线段树与哈希算法解决。
题意：
给定一个长度为 \(n\) 的排列 \(a\)，判断其中是否有长度 \(\ge 3\) 的等差数列。
\(1 \le n \le 5 \times 10^5\)。
思路：
首先若存在长度 \(>3\) 的等差数列，则其中的一部分肯定由长度为 \(3\) 的等差数列组成；即我们现在只需要判断是否存在长度为 \(3\) 的等差数列即可。
考虑枚举中间的数 \(a_i\)，则问题转化为 \(a_i-k\) 与 \(a_i + k\) 是否同时出现在 \(i\) 的两侧。
注意到 \(a\) 是一个排列，则是没有重复数字的。
那么我们可以记作若 \(i\) 左边的 \(a_j\) 出现过，则将标记数组中第 \(a_j\) 个位置为 \(0\)。
若不可以构成等差数列的话，当 \(a_i-k\) 被标记了，则 \(a_i+k\) 也必须被标记（不然就会出现在 \(i\) 右侧，形成等差数列），那么标记数组就是以 \(i\) 为回文中心回文的。
现在我们需要支持单点赋值为 \(1\)，判断一个区间是否是回文的；可以直接线段树维护翻转后和未翻转时的哈希值，判断是否相等即为回文。
考虑提前预处理出 \(base\) 的次幂，则单组数据时间复杂度为 \(O(N \log N)\)。
完整代码：
P2757 [国家集训队] 等差子序列
#include<bits/stdc++.h>
#define Add(x,y) (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define pi pair<ll,ll>
#define pii pair<ll,pair<ll,ll>>
#define iip pair<pair<ll,ll>,ll>
#define ppii pair<pair<ll,ll>,pair<ll,ll>>
#define fi first
#define se second
#define full(l,r,x) for(auto it=l;it!=r;it++) (*it)=x
#define Full(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define open(s1,s2) freopen(s1,"r",stdin),freopen(s2,"w",stdout);
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define _For(i,l,r) for(int i=r;i>=l;i--)
using namespace std;
typedef long double lb;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
bool Begin;
const ll N=5e5+10;
const ull base=127;
inline ll read(){
ll x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline void write(ll x){
if(x<0){
putchar('-');
x=-x;
}
if(x>9)
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
mt19937_64 R(time(0));
int T,n,x,l,r;
bool ans;
ull h[2],f[N];
class St{
public:
ull x,y;
int len;
inline void tidy(){
x=y=len=0;
}
inline friend St operator+(const St a,const St b){
St ans;
ans.x=a.x*f[b.len]+b.x;
ans.y=b.y*f[a.len]+a.y;
ans.len=a.len+b.len;
return ans;
}
}F;
class Tree{
public:
struct Node{
int l,r;
St sum;
}X[N<<2];
inline void pushup(int k){
X[k].sum=X[k<<1].sum+X[k<<1|1].sum;
}
inline void build(int k,int l,int r){
X[k].sum.tidy();
X[k].l=l,X[k].r=r;
X[k].sum.len=r-l+1;
if(l==r){
X[k].sum.x=X[k].sum.y=h[0];
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid);
build(k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
inline void add(int k,int i){
if(X[k].l==i&&i==X[k].r){
X[k].sum.x=X[k].sum.y=h[1];
return ;
}
int mid=(X[k].l+X[k].r)>>1;
if(i<=mid)
add(k<<1,i);
else
add(k<<1|1,i);
pushup(k);
}
inline St query(int k,int l,int r){
if(X[k].l==l&&r==X[k].r)
return X[k].sum;
int mid=(X[k].l+X[k].r)>>1;
if(r<=mid)
return query(k<<1,l,r);
else if(l>mid)
return query(k<<1|1,l,r);
else
return query(k<<1,l,mid)+query(k<<1|1,mid+1,r);
}
}Tr;
inline void init(){
h[0]=R(),h[1]=R();
f[0]=1;
For(i,1,N-1)
f[i]=f[i-1]*base;
}
inline void solve(){
ans=0;
n=read();
Tr.build(1,1,n);
For(i,1,n){
x=read();
Tr.add(1,x);
if(x<=n-x+1){
l=1,r=(x<<1ll)-1;
F=Tr.query(1,l,r);
}
else{
l=(x<<1ll)-n,r=n;
F=Tr.query(1,l,r);
}
if(F.x!=F.y)
ans=1;
}
if(ans)
puts("Y");
else
puts("N");
}
bool End;
int main(){
init();
T=read();
while(T--)
solve();
//cerr<<'\n'<<abs(&Begin-&End)/1048576<<"MB";
return 0;
}
CF452F Permutation
#include<bits/stdc++.h>
#define Add(x,y) (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define pi pair<ll,ll>
#define pii pair<ll,pair<ll,ll>>
#define iip pair<pair<ll,ll>,ll>
#define ppii pair<pair<ll,ll>,pair<ll,ll>>
#define fi first
#define se second
#define full(l,r,x) for(auto it=l;it!=r;it++) (*it)=x
#define Full(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define open(s1,s2) freopen(s1,"r",stdin),freopen(s2,"w",stdout);
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define _For(i,l,r) for(int i=r;i>=l;i--)
using namespace std;
typedef long double lb;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
bool Begin;
const ll N=3e5+10;
const ull base=127;
inline ll read(){
ll x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline void write(ll x){
if(x<0){
putchar('-');
x=-x;
}
if(x>9)
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
mt19937_64 R(time(0));
int T,n,x,l,r;
bool ans;
ull h[2],f[N];
class St{
public:
ull x,y;
int len;
inline void tidy(){
x=y=len=0;
}
inline friend St operator+(const St a,const St b){
St ans;
ans.x=a.x*f[b.len]+b.x;
ans.y=b.y*f[a.len]+a.y;
ans.len=a.len+b.len;
return ans;
}
}F;
class Tree{
public:
struct Node{
int l,r;
St sum;
}X[N<<2];
inline void pushup(int k){
X[k].sum=X[k<<1].sum+X[k<<1|1].sum;
}
inline void build(int k,int l,int r){
X[k].sum.tidy();
X[k].l=l,X[k].r=r;
X[k].sum.len=r-l+1;
if(l==r){
X[k].sum.x=X[k].sum.y=h[0];
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid);
build(k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
inline void add(int k,int i){
if(X[k].l==i&&i==X[k].r){
X[k].sum.x=X[k].sum.y=h[1];
return ;
}
int mid=(X[k].l+X[k].r)>>1;
if(i<=mid)
add(k<<1,i);
else
add(k<<1|1,i);
pushup(k);
}
inline St query(int k,int l,int r){
if(X[k].l==l&&r==X[k].r)
return X[k].sum;
int mid=(X[k].l+X[k].r)>>1;
if(r<=mid)
return query(k<<1,l,r);
else if(l>mid)
return query(k<<1|1,l,r);
else
return query(k<<1,l,mid)+query(k<<1|1,mid+1,r);
}
}Tr;
inline void init(){
h[0]=R(),h[1]=R();
f[0]=1;
For(i,1,N-1)
f[i]=f[i-1]*base;
}
inline void solve(){
ans=0;
n=read();
Tr.build(1,1,n);
For(i,1,n){
x=read();
Tr.add(1,x);
if(x<=n-x+1){
l=1,r=(x<<1ll)-1;
F=Tr.query(1,l,r);
}
else{
l=(x<<1ll)-n,r=n;
F=Tr.query(1,l,r);
}
if(F.x!=F.y)
ans=1;
}
if(ans)
puts("YES");
else
puts("NO");
}
bool End;
int main(){
init();
T=1;
while(T--)
solve();
//cerr<<'\n'<<abs(&Begin-&End)/1048576<<"MB";
return 0;
}
