[ABC363G] Dynamic Scheduling 与 P4511 [CTSC2015] 日程管理
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讲解 [ABC363G] Dynamic Scheduling 与 P4511 [CTSC2015] 日程管理。
要维护一个动态的工作序列，考虑贪心，用线段树与二分快速维护。
思路：
对于插入操作，设插入 \(\{t,p\}\)：
-
若当前 \(1 \sim t\) 有空位，那么就放进去。
-
否则，\(1 \sim t\) 是被塞满了的：
-
首先容易想到的是找到 \(1 \sim t\) 中贡献最小的那个工作，若贡献比 \(p\) 还小，可以与之替换掉。
-
但是假了，考虑这样一种情况：在 \(1 \sim t\) 外有一个更小的值，可以跟 \(1 \sim t\) 中的某个工作换一个位置，然后再将这个替换过来的工作替换掉，这样无疑是更优的。
-
考虑如何快速维护这个东西，使用两棵线段树：
-
第一棵线段树维护所有截止时间在区间 \([l,r]\) 的时刻完成的任务的截止时间的最大值。
-
第二棵线段树维护所有截止时间在区间 \([l,r]\) 的时刻完成的任务的贡献的最小值。
-
-
我们需要找到经过替换能替换到的最远时刻：
-
令 \(A_{fi}\) 表示当前 \(1 \sim t\) 中截止时间最晚的时间，\(A_{se}\) 为 \(1 \sim t\) 中截止时间最晚的工作完成的时刻。
-
令 \(B_{fi}\) 表示当前 \(1 \sim A_{fi}\) 中截止时间最晚的时间，\(B_{se}\) 为 \(1 \sim A_{fi}\) 中截止时间最晚的工作完成的时刻。
-
那么若 \(A_{fi} < B_{fi}\)：
-
说明可以将 \(A_{se}\) 与 \(B_{se}\) 时刻的工作调换一下。
-
因为可以使得 \(1 \sim t\) 内的工作的最晚截止时刻更长。
-
-
然后一直重复交换操作，直到不满足 \(A_{fi} < B_{fi}\) 为止。
-
-
经过上述的操作，\(A_{fi}\) 达到了最大值；令 \(C_{fi}\) 表示当前 \(1 \sim A_{fi}\) 中工作贡献的最小值，\(C_{se}\) 表示完成最小贡献的工作所处的时刻。
-
若 \(C_{se} > t\)，可以将 \(A_{se}\) 与 \(C_{se}\) 交换一下。
-
此时的 \(C_{fi}\) 就是可以找到替换的最小值，若 \(p > C_{fi}\)，则可以替换。
-
对于删除操作：
-
若删除的工作我们选择完成了，设在 \(t\) 时刻完成：
-
那么容易想到，可以找到截止时间在 \(t \sim T\) 中贡献最大且没有完成的工作，顶替上来即可。
-
但是也假了，考虑这样一种情况，可以将 \(t\) 与 \(1 \sim t-1\) 时刻的某个工作 \(t'\) 交换，使得 \(t' \sim T\) 的最大贡献在 \(t' \sim t\) 中，则只看 \(t \sim T\) 是不优的。
-
我们需要将 \(t\) 换到尽可能前面去，考虑二分：
-
若 \(1 \sim mid\) 中截止时间最晚的时间是大于等于 \(t\) 的，说明 \(1 \sim mid\) 中有一个位置可以与 \(t\) 换，令 \(r=mid-1\)；否则 \(l=mid+1\)。
-
设当前找到的最靠前的时刻为 \(t'\)，令 \(t \gets t'\)，然后再在 \(1 \sim t\) 的范围内二分。
-
重复二分直到找不到 \(1 \sim t-1\) 范围内的点与 \(t\) 交换，即不存在 \(t'\)。
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-
此时我们得到了最小的 \(t\)，找 \(t \sim T\) 内贡献最大且没有完成的工作顶替即可。
-
可以使用第三棵线段树：维护所有截止时间在区间 \([l,r]\) 的时刻未完成的任务的贡献的最大值。
-
-
若并没有完成该工作，则直接在第三棵线段树上将这个点的贡献消除即可。
第三棵线段树需要支持一个撤销操作，因为可能有完全一模一样的工作，需要在叶子节点处使用 multiset 维护最大值。
时间复杂度为 \(O(N \log^3 N)\)。
该做法码量和常数较大，谨慎使用。
完整代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define Add(x,y) (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define pi pair<ll,ll>
#define pii pair<ll,pair<ll,ll>>
#define iip pair<pair<ll,ll>,ll>
#define ppii pair<pair<ll,ll>,pair<ll,ll>>
#define fi first
#define se second
#define full(l,r,x) for(auto it=l;it!=r;it++) (*it)=x
#define Full(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define open(s1,s2) freopen(s1,"r",stdin),freopen(s2,"w",stdout);
using namespace std;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
bool Begin;
const ll N=1e5+10,INF=1e18;
inline ll read(){
ll x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline void write(ll x){
if(x<0){
putchar('-');
x=-x;
}
if(x>9)
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
// T1 维护 1 ~ x 时刻中完成的任务的截止时间的最大值
// T2 维护 1 ~ x 时刻中完成的任务的得分的最小值
// T3 维护 1 ~ x 时刻中未完成的任务的得分的最大值
ll n,q,c,x,y,z,l,r,t,ans;
ll a[N],b[N],X[N],Y[N],Z[N];
map<pi,ll> cnt;
map<iip,ll> F;
class Tree1{
public:
pi H[N<<2]; //{最大值,位置}
pi add(pi a,pi b){
if(a.fi>b.fi)
return a;
return b;
}
void pushup(ll k){
H[k]=add(H[k<<1],H[k<<1|1]);
}
void build(ll k,ll l,ll r){
if(l==r){
H[k].fi=0;
H[k].se=l;
return ;
}
ll mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid);
build(k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
void update(ll k,ll l,ll r,ll i,ll v){
if(l==i&&i==r){
H[k].fi=v;
return ;
}
ll mid=(l+r)>>1;
if(i<=mid)
update(k<<1,l,mid,i,v);
else
update(k<<1|1,mid+1,r,i,v);
pushup(k);
}
void del(ll k,ll l,ll r,ll i){
if(l==i&&i==r){
H[k].fi=0;
return ;
}
ll mid=(l+r)>>1;
if(i<=mid)
del(k<<1,l,mid,i);
else
del(k<<1|1,mid+1,r,i);
pushup(k);
}
pi query(ll k,ll l,ll r,ll L,ll R){
if(L>R)
return {-INF,0};
if(l==L&&R==r)
return H[k];
ll mid=(l+r)>>1;
if(R<=mid)
return query(k<<1,l,mid,L,R);
else if(L>mid)
return query(k<<1|1,mid+1,r,L,R);
else
return add(query(k<<1,l,mid,L,mid),query(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,R));
}
void Swap(ll x,ll y){
ll xx=query(1,1,n,x,x).fi;
ll yy=query(1,1,n,y,y).fi;
update(1,1,n,x,yy);
update(1,1,n,y,xx);
}
}T1;
class Tree2{
public:
pi H[N<<2]; //{最小值,位置}
pi add(pi a,pi b){
if(a.fi<b.fi)
return a;
return b;
}
void pushup(ll k){
H[k]=add(H[k<<1],H[k<<1|1]);
}
void build(ll k,ll l,ll r){
if(l==r){
H[k].fi=0;
H[k].se=l;
X[l]=Y[l]=Z[l]=0;
return ;
}
ll mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid);
build(k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
void update(ll k,ll l,ll r,ll i,ll x,ll y,ll c){
if(l==i&&i==r){
H[k].fi=y;
X[i]=x,Y[i]=y,Z[i]=c;
F[{{x,y},c}]=i;
return ;
}
ll mid=(l+r)>>1;
if(i<=mid)
update(k<<1,l,mid,i,x,y,c);
else
update(k<<1|1,mid+1,r,i,x,y,c);
pushup(k);
}
void del(ll k,ll l,ll r,ll i){
if(l==i&&i==r){
H[k].fi=0;
F[{{X[i],Y[i]},Z[i]}]=0;
X[i]=Y[i]=Z[i]=0;
return ;
}
ll mid=(l+r)>>1;
if(i<=mid)
del(k<<1,l,mid,i);
else
del(k<<1|1,mid+1,r,i);
pushup(k);
}
pi query(ll k,ll l,ll r,ll L,ll R){
if(L>R)
return {INF,0};
if(l==L&&R==r)
return H[k];
ll mid=(l+r)>>1;
if(R<=mid)
return query(k<<1,l,mid,L,R);
else if(L>mid)
return query(k<<1|1,mid+1,r,L,R);
else
return add(query(k<<1,l,mid,L,mid),query(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,R));
}
void Swap(ll x,ll y){
ll xx1=X[x],yy1=Y[x],cc1=Z[x],xx2=X[y],yy2=Y[y],cc2=Z[y];
update(1,1,n,x,xx2,yy2,cc2);
update(1,1,n,y,xx1,yy1,cc1);
}
}T2;
class Tree3{
public:
ll id[N];
multiset<pii> S[N];
iip H[N<<2]; // {{x,y},c}
iip add(iip a,iip b){
if(a.fi.se>b.fi.se)
return a;
return b;
}
void pushup(ll k){
H[k]=add(H[k<<1],H[k<<1|1]);
}
void update(ll k,ll l,ll r,ll x,ll y,ll c){
if(l==x&&x==r){
S[x].insert({-y,{-x,-c}});
auto t=(*S[x].begin());
H[k]={{-t.se.fi,-t.fi},-t.se.se};
return ;
}
ll mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)
update(k<<1,l,mid,x,y,c);
else
update(k<<1|1,mid+1,r,x,y,c);
pushup(k);
}
void del(ll k,ll l,ll r,ll x,ll y,ll c){
if(l==x&&x==r){
S[x].erase({-y,{-x,-c}});
auto t=(*S[x].begin());
H[k]={{-t.se.fi,-t.fi},-t.se.se};
return ;
}
ll mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)
del(k<<1,l,mid,x,y,c);
else
del(k<<1|1,mid+1,r,x,y,c);
pushup(k);
}
iip query(ll k,ll l,ll r,ll L,ll R){
if(l==L&&R==r)
return H[k];
ll mid=(l+r)>>1;
if(R<=mid)
return query(k<<1,l,mid,L,R);
else if(L>mid)
return query(k<<1|1,mid+1,r,L,R);
else
return add(query(k<<1,l,mid,L,mid),query(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,R));
}
}T3;
void insert(ll x,ll y){
c=++cnt[{x,y}];
pi A,B;
pi C;
while(1){
A=T1.query(1,1,n,1,x);
B=T1.query(1,1,n,1,A.fi);
if(A.fi<B.fi){
T1.Swap(A.se,B.se);
T2.Swap(A.se,B.se);
}
else
break;
}
A=T1.query(1,1,n,1,x);
C=T2.query(1,1,n,1,A.fi);
if(C.se>x){
T1.Swap(A.se,C.se);
T2.Swap(A.se,C.se);
}
C=T2.query(1,1,n,1,x);
if(C.fi<y){
ans+=y-C.fi;
if(C.fi){
T3.update(1,1,n,X[C.se],Y[C.se],Z[C.se]);
T1.del(1,1,n,C.se);
T2.del(1,1,n,C.se);
}
T1.update(1,1,n,C.se,x);
T2.update(1,1,n,C.se,x,y,c);
}
else
T3.update(1,1,n,x,y,c);
}
void del(ll x,ll y){
c=cnt[{x,y}]--;
if(F[{{x,y},c}]){
ans-=y;
while(1){
z=F[{{x,y},c}];
l=1,r=z-1,t=-1;
while(l<=r){
ll mid=(l+r)>>1;
if(T1.query(1,1,n,1,mid).fi>=z){
t=mid;
r=mid-1;
}
else
l=mid+1;
}
if(t==-1)
break;
T1.Swap(t,z);
T2.Swap(t,z);
}
z=F[{{x,y},c}];
T1.del(1,1,n,z);
T2.del(1,1,n,z);
iip A=T3.query(1,1,n,z,n);
if(A.se){
ans+=A.fi.se;
T1.update(1,1,n,z,A.fi.fi);
T2.update(1,1,n,z,A.fi.fi,A.fi.se,A.se);
T3.del(1,1,n,A.fi.fi,A.fi.se,A.se);
}
}
else
T3.del(1,1,n,x,y,c);
}
bool End;
/*[ABC363G] Dynamic Scheduling
int main(){
n=read(),q=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=read();
T1.build(1,1,n);
T2.build(1,1,n);
for(int i=1;i<=n;i++)
insert(a[i],b[i]);
// write(ans);
// putchar('\n');
while(q--){
x=read();
del(a[x],b[x]);
a[x]=read(),b[x]=read();
insert(a[x],b[x]);
write(ans);
putchar('\n');
}
cerr<<'\n'<<abs(&Begin-&End)/1048576<<"MB";
return 0;
}*/
/*P4511 [CTSC2015] 日程管理
int main(){
n=read(),q=read();
T1.build(1,1,n);
T2.build(1,1,n);
while(q--){
cin>>op;
x=read(),y=read();
if(op[0]=='A')
insert(x,y);
else
del(x,y);
write(ans);
putchar('\n');
}
return 0;
}
*/
