LeetCode - 326, 342, 231 Power of Three, Four, and Two
1. 问题
231. Power of Two: 判断一个整数是否是2的n次方，其中n是非负整数
342. Power of Four: 判断一个整数是否是4的n次方，其中n是非负整数
326. Power of Three: 判断一个整数是否是3的n次方，其中n是非负整数
2. 思路
1）2的n次方
不妨列举几个满足条件的例子。
If n = 0: 2 ^ n = 1
If n = 1: 2 ^ n = 2 -> 10（二进制表示）
If n = 2: 2 ^ n = 4 -> 100（二进制表示）
If n =3: 2 ^ n = 8 -> 1000 （二进制表示）
...
If n = k, 2^n -> 100 .(k个0).. 000 （二进制表示）
可以看到，所有的2的n次方数，都以1开头，然后跟随了n个0。因此，对应的2 ^ n - 1是：
n=1: 2^1 - 1 = 0
If n = 1: 2 ^ n - 1 = 1 -> (0)1（二进制表示）
If n = 2: 2 ^ n - 1 = 3 -> (0)11（二进制表示）
If n =3: 2 ^ n - 1 = 7 -> (0)111 （二进制表示）
...
If n = k, 2^n-1 -> (0)11 .(k个1).. 111 （二进制表示）
最终代码只需要一行就可以解决:
class Solution {
public:
bool isPowerOfTwo(int num) {
return !(num&(num-1)) && n >= 1;
}
};
2）4的n次方
- 解法1：
我觉得这道题跟2的n次方是有点像的。唯一的不同是需要解决属于2的n次方但不属于4的n次方的部分。
$A = \{x \mid 2^n = x \ for \ some \ n \in \ \mathbb{N} \}$
$B = \{x \mid \exists n \in \ \mathbb{N}, \forall m \in \mathbb{N} \Rightarrow 2^n = x \ and \ 4^m \ne x \}$
先观察属于2的n次方但不属于4的n次方的部分。
2 -> 10
8 -> 1000
32 -> 100000
128 -> 10000000
再观察属于4的n次方的部分。
1 -> 1
4 -> 10
16 -> 10000
64 -> 1000000
可以看到，他们唯一的不同就是从右往左数的第2,4,6,8, ... , 2m位上有没有1。
代码：
class Solution {
public:
bool isPowerOfFour(int n) {
return (!(n&(n-1))) && n >= 1 && n==(n&0x55555555);
}
};
- 解法(Solution) 2：
简单来说，所有4的n次方减去1都可以被3整除，但所有属于2的次n方而不属于4的n次方的数减去一都不可以被3整除。部分证明（需要用到离散数学）如下：
证明1：对任意 $x \in C=A-B$ 有 (x - 1) % 3 = 0.
$4^n=(1+3)^n = C^0_n 1+C^1_n3+...+C^n_n 3^n = 1+3(C^1_n + C^2_n 3 +...+ C^n_n 3^{n-1})$
$(C^1_n + C^2_n 3 +...+ C^n_n 3^{n-1}) \in \mathbb{Z} $
$\therefore (4^n -1)\ (mod\ 3) ≡ 0$
证明2：对任意$ y \in A$, 有 (x - 1) % 3 =1.
定理：$ if \ a_1 ≡ b_1( mod\ m),\ a_2 ≡ b_2( mod\ m) ,\ then \ a_1 * a_2 ≡ b_1 * b_2(mod m)$
$ 2^2 (mod\ 3)≡ 1,\ 2^1(mod\ 3)≡2$
$\therefore 2^3(mod\ 3) ≡ 2^1 * 2^2 (mod\ 3)≡ 2*1 ≡ 2$
$\therefore 2^5(mod\ 3) ≡ 2^3 * 2^2 (mod\ 3)≡ 2*1≡ 2 \\ ... \\ \therefore 2^{2k+1} (mod \ 3) ≡ (2^{2k-1} (mod \ 3))*(2^2 (mod\ 3)) ≡ 2 \ne 0$
定理：$ if\ a_1 ≡ b_1( mod\ m),\ a_2 ≡ b_2( mod\ m) ,\ then \ a_1 - a_2 ≡ b_1 - b_2(mod\ m)$
$\therefore 2^{2k+1} -1(mod\ 3) ≡ 1\ne 0$
代码Code:
class Solution {
public:
bool isPowerOfFour(int n) {
return (!(n&(n-1))) && n >= 1 && (n-1)%3 == 0;
}
};
3）3的n次方
简单来说，如果一个数可以整除3的k次方，那么这个数必然也是3的n次方数（其中n<k）。学过离散数学的可以联想到：
已知对于任意的一个正整数N，有$N=p_1^{e1}p^{e2}_2...p^{er}_r$ 且$p_1、p_2...p_r$都为素数。而3是一个素数。因此：
$\forall n, m\in \mathbb{N}$
$n<m\ and \ \exists k\in \mathbb{N}, such\ that\ m=3^k$
$if\ m(mod\ n)≡0,\ then\ there\ must\ be \ n = 3^l \ for \ some \ l\in \mathbb{N}$
代码如下：
class Solution {
public:
bool isPowerOfThree(int n) {
return n > 0 and int(pow(3,19)) % n == 0;
}
};
类似的，因为2也是个素数，那么对于2的n次方也可以用相似的方法求解：
class Solution {
public:
bool isPowerOfTwo(int n) {
return n > 0 && (int(pow(2,30))) % n == 0;
}
};
