数学(5)——线性代数：行列式

我也不知道为什么要学这个，不过线性代数相关的内容确实是计算机科学非常重要的知识。

关于行列式

前置芝士：矩阵和高斯消元。

行列式的定义

行列式 ($\texttt{Determinant}$) 是一个函数定义，取值是一个标量。

对一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$（$n$ 阶方阵），其 $n$ 阶行列式写作 $\det(A)$ 或者 $|A|$，定义为：

$$\det(A)=|A|=\sum_p(-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^n a_{i,p_i}$$

$p$ 表示一个排列，所有可能的 $p$ 则是 $1$ 到 $n$ 这 $n$ 个数的全排列。$\tau(p)$ 表示一个排列 $p$ 的逆序对个数。

行列式可以理解为所有列向量所夹的几何体的有向体积，这样可以结合从几何直观出发理解为线性变换的伸缩因子。

不过，这些都不重要！ 在 OI 中，我们最应该了解的，是如何高效地求出一个矩阵的行列式然后去做题。至于其更深层次的数学意义，交给数学家们吧。

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关于排列的奇偶性

我们发现 $\tau(p)$ 的奇偶性对行列式求值起到了很大的影响，所以我们需要了解排列的奇偶性相关。

• 我们约定：如果 $\tau(p)$ 为奇数，则 $p$ 为一个奇排列，否则是一个偶排列；
• 对于一个 $n(n\geq2)$ 阶排列的所有排列情况，奇排列与偶排列的情况各 $\displaystyle \frac{1}{2}$；
• 对于排列 $p$ 我们交换其中的 $2$ 个元素，其余元素不边，会得到一个新的排列，这种操作叫对换；
• 一次对换会改变排列的奇偶性；
• 一个排列可以通过若干次对换变成一个元素严格递增的自然排列，对换次数的奇偶性与原排列的奇偶性相同。

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行列式的性质与定理

行列式有着一些有助于我们做题的性质。

行列式的不变性从体积的几何意义上理解非常直观，但是我们这里不做讨论。

• 交换对应矩阵的 $2$ 行（列），行列式取反；$(1)$
• 交换 $1$ 行与 $1$ 列（进行一次矩阵转置），行列式不变；$(2)$

这两个性质的证明，可以考虑结合排列的奇偶性，然后直接重新带入公式观察。

• 行列式的行（列）所有元素等比例变化，则行列式也等比例变化；$(3)$

  • $$\begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ k\times a_{i,1} &k\times a_{i,2} &\cdots &k\times a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} =k\times \begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i,1} &a_{i,2} &\cdots &a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$$

• 如果行列式对应矩阵 $A$ 中有一行（列），是对应 $2$ 个矩阵 $B,C$ 中分别的 $2$ 行（列）所有元素之和。那么有 $\det(A)=\det(B)+\det(C)$；$(4)$

  • $$\begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ b_{i,1}+c_{i,1} &b_{i,2}+c_{i,2} &\cdots &b_{i,n}+c_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ b_{i,1} &b_{i,2} &\cdots &b_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ c_{i,1} &c_{i,2} &\cdots &c_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$$

• 如果一个矩阵存在两行（列）成比例则 $\det(A)=0$；$(5)$

  • $$\begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i,1} &a_{i,2} &\cdots &a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ k\times a_{i,1} &k\times a_{i,2} &\cdots &k\times a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix}=0$$

  • 这个证明可以直接代，但也有巧妙的办法：我们可以通过交换有比例关系的这两行得到新的矩阵 $A'$ $k\times a_{i,1}, k\times a_{i,2}, \cdots ,k\times a_{i,n}$ 现在就在上面的位置，一次交换使得 $\det(A)=-\det(A')$ ，我们通过 $(3)$ 将 $k$ 的比例变化放到行列式前，也就是 $A,A'$ 的 $k\times a_{i,1} k\times a_{i,2} \cdots k\times a_{i,n}$ 一行（列）变成 $a_{i,1},a_{i,2} \cdots ,a_{i,n}$，得到的新的矩阵分别是 $A'',A'''$ 我们发现 $A''=A'''$ 又有 $k\times |A''|=|A|=-k\times |A'''|=-|A'|$，一个数等于其相反数，所以有 $|A|=0$；

• 把一个矩阵的一行（列）的值全部乘一个常数加到另一行（列）上，行列式值不变。$(6)$

  • $$\begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i,1} &a_{i,2} &\cdots &a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{j,1}+k\times a_{i,1} &a_{j,2}+k\times a_{i,2} &\cdots &a_{j,2}+k\times a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i,1} &a_{i,2} &\cdots &a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{j,1} &a_{j,2} &\cdots &a_{j,2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$$

  • 证明也很简单，根据 $(4)$ 有：

  • $$\begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i,1} &a_{i,2} &\cdots &a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{j,1}+k\times a_{i,1} &a_{j,2}+k\times a_{i,2} &\cdots &a_{j,2}+k\times a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i,1} &a_{i,2} &\cdots &a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{j,1} &a_{j,2} &\cdots &a_{j,2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i,1} &a_{i,2} &\cdots &a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ k\times a_{i,1} &k\times a_{i,2} &\cdots &k\times a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$$

  • $\because (5)$

  • $$\therefore \begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i,1} &a_{i,2} &\cdots &a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{j,1}+k\times a_{i,1} &a_{j,2}+k\times a_{i,2} &\cdots &a_{j,2}+k\times a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i,1} &a_{i,2} &\cdots &a_{i,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{j,1} &a_{j,2} &\cdots &a_{j,2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{vmatrix}+0$$

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行列式求值

那么知道了行列式这样一些性质，怎样在 OI 中高效地去求行列式呢。

直接根据定义计算，行列式求值是 $\Theta(n\times n!)$ 的。显然太高了。

有上面这些性质我们怎么该将问题简化呢。

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消元

我们考虑一个情况，当一个矩阵任意一个位置出现 $0$，其对行列式的影响非常大。

因为我们考虑公式中 $\displaystyle\prod_{i=1}^n a_{i,p_i}$ 一项，一旦选到 $0$ 整个 $p$ 在 $\displaystyle \sum_p$ 中就没有贡献了。

我们利用上面的一些性质显然是可以让矩阵不断变化出现 $0$ 的。运用定理 $(1),(3),(4)$ 就可以做到。

显然瞎转化肯定是不行的，我们要让运算次数尽可能少。

如果学习了前置知识。我们知道求解线性方程组的算法高斯消元。其实高斯消元在做增广矩阵行（初等）变换为行最简形时的步骤和我们的转化有异曲同工之妙。

我们现在考虑将矩阵一行（列）消成只有最后一个元素非 $0$ 该怎么做。也就是说：

$$A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots &a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots &a_{3,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots &a_{n,n}\\ \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots &a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots &a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots &a_{3,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots &a_{n,n}\\ \end{bmatrix}$$

对于 $1$ 到第 $n-1$ 列中的第 $i$ 列，我们只需要让第 $i$ 列整列加上第 $n$ 列的 $\displaystyle-\frac{a_{n,i}}{a_{n,n}}$ 倍就可以在 $\det(A)$ 不变的情况下使得整行前 $n-1$ 个元素被消掉。

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代数余子式求值

消元有什么用呢，我们引入线性代数中帮助我们求行列式的一个概念——代数余子式。

在一个 $n$ 阶行列式 $D$ 中选定 $k$ 行 $k$ 列可以组成一个 $k$ 阶子行列式 $A$；

删除在 $k$ 行 $k$ 列后剩下的 $n-k$ 阶行列式称为 $A$ 对应的 $n-k$ 阶余子式 $M$。

设 $A$ 在 $D$ 中原来的元素行下标有集合 $\mathbb I=\{i_1,i_2 ,\dots ,i_k\}$ 列下标有集合 $\mathbb J=\{j_1,j_2 ,\dots ,j_k\}$，则有 $\displaystyle(-1)^{\displaystyle(i_1+i_2+\dots+i_k)(j_1+j_2+\dots+j_k)}\times \det(M)$ 为 $n$ 阶行列式 $D$ 的 $k$ 阶子式 $A$ 的代数余子式。

对于单一元素 $a_{i,j}$ 我们令其代数余子式为 $A_{i,j}$ ，余子式为 $M_{i,j}$ 。有 $A_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}$。

我们有如下命题：

• $n$ 阶行列式 $D$ 等于其任意一行（列）所有元素与其对应代数余子式的乘积之和。

  • $$D=\sum_{j=1}^na_{i,j}\times A_{i,j},(i\in[1,n])$$

  • $$D=\sum_{i=1}^na_{i,j}\times A_{i,j},(j\in[1,n])$$

• $n$ 阶行列式 $D$ 的任意一行（列）余另不同的一行（列）对应元素的代数余子式之和为 $0$。

  • $$\sum_{k=1}^na_{i,k}\times A_{j,k}=0,(i,j\in[1,n],i\neq j)$$

  • $$\sum_{k=1}^na_{k,i}\times A_{k,j}=0,(i,j\in[1,n],i\neq j)$$

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求值

我们回到刚才最后一行消元后的情况。运用第一个命题我们发现 $D$ 的值只是 $a_{n,n}\times A_{n,n}$。这个时候如果我们继续对 $A_{n,n}$ 做同样的消元呢？

$$\begin{vmatrix} \color{red}a_{1,1} & \color{red}a_{1,2} & \color{red}a_{1,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{1,n-1} &a_{1,n}\\ \color{red}a_{2,1} & \color{red}a_{2,2} & \color{red}a_{2,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{2,n-1} &a_{2,n}\\ \color{red}a_{3,1} &\color{red} a_{3,2} &\color{red} a_{3,3} &\color{red} \cdots &\color{red}a_{3,n-1} &a_{3,n}\\ \color{red}\vdots & \color{red}\vdots & \color{red}\vdots & \color{red}\ddots &\color{red} \vdots &\vdots\\ \color{red}a_{n-1,1} &\color{red} a_{n-1,2} & \color{red}a_{n-1,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{n-1,n-1} &a_{n,n-1}\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots &a_{n,n-1} &a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$$

也就是说如果对于这个 $n-1$ 阶的红色余子式继续做消元使得其变成：

$$\begin{vmatrix} \color{red}a_{1,1} & \color{red}a_{1,2} & \color{red}a_{1,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{1,n-1} \\ \color{red}a_{2,1} & \color{red}a_{2,2} & \color{red}a_{2,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{2,n-1}\\ \color{red}a_{3,1} &\color{red} a_{3,2} &\color{red} a_{3,3} &\color{red} \cdots &\color{red}a_{3,n-1} \\ \color{red}\vdots & \color{red}\vdots & \color{red}\vdots & \color{red}\ddots &\color{red} \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}\cdots &\color{red}a_{n-1,n-1}\\ \end{vmatrix}$$

我们发现之前余子式 $A_{n,n}$ 又只等于 $a_{n-1,n-1}\times A_{n-1,n-1}$。

以此类推，如果我们一直：

• 对当前行列式消元

• 取最末（右下角）位的值和其余子式，余子式作为新行列式重新做；

$$\begin{vmatrix} \color{orange}a_{1,1} & \color{green}a_{1,2} & \color{blue}a_{1,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{1,n-1} &a_{1,n}\\ \color{green}a_{2,1} & \color{green}a_{2,2} & \color{blue}a_{2,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{2,n-1} &a_{2,n}\\ \color{blue}a_{3,1} &\color{blue} a_{3,2} &\color{blue} a_{3,3} &\color{red} \cdots &\color{red}a_{3,n-1} &a_{3,n}\\ \color{red}\vdots & \color{red}\vdots & \color{red}\vdots & \color{red}\ddots &\color{red} \vdots &\vdots\\ \color{red}a_{n-1,1} &\color{red} a_{n-1,2} & \color{red}a_{n-1,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{n-1,n-1} &a_{n,n-1}\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots &a_{n,n-1} &a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$$

按不同颜色一直递归下去做，我们发现最后我们得到

$$\begin{vmatrix} \color{orange}a_{1,1} & \color{green}a_{1,2} & \color{blue}a_{1,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{1,n-1} &a_{1,n}\\ 0 & \color{green}a_{2,2} & \color{blue}a_{2,3} & \color{red}\cdots &\color{red}a_{2,n-1} &a_{2,n}\\ 0 &0 &\color{blue} a_{3,3} &\color{red} \cdots &\color{red}a_{3,n-1} &a_{3,n}\\ \color{red}\vdots & \color{red}\vdots & \color{red}\vdots & \color{red}\ddots &\color{red} \vdots &\vdots\\ 0 &0 & 0 & \color{red}\cdots &\color{red}a_{n-1,n-1} &a_{n,n-1}\\ 0 & 0 & 0 & \cdots &0 &a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$$

这样的一个下三角行列式。

我们就会发现这样一个矩阵的行列式是其对角线所有元素的乘积，也就是 $\displaystyle\prod_{i=1}^na_{i,i}$。

这样就可以做了。

实现的时候有一些细节：

• 每次取新的余子式的时候需要注意奇偶性，及时变化正负，因为记得代数余子式是要乘上一个 $(-1)^{(i_1+i_2+\dots+i_k)(j_1+j_2+\dots+j_k)}$ 的；

• 如果题目要求 $\bmod p$ 情况下的行列式，有些数是不一定有逆元的，或者说消元的时候精度出问题，我们可以考虑对两行（列）做辗转相减消元。

  • $$\begin{bmatrix} 10 & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots &a_{1,n}\\ 4 & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots &a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots &a_{3,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots &a_{n,n}\\ \end{bmatrix}$$

  • 对于这样的情况，求 $a_{1,1}=a_{1,1}\bmod a_{2,1}$

  • 有 $\begin{bmatrix}2\\4\\\end{bmatrix}$（我们现在只考虑这两个位置）

  • swap(a[1][1],a[2][1])

  • 有 $\begin{bmatrix}4\\2\\\end{bmatrix}$

  • 再做 $a_{1,1}=a_{1,1}\bmod a_{2,1}$

  • 有 $\begin{bmatrix}0\\2\\\end{bmatrix}$

  • swap(a[1][1],a[2][1])

  • 有 $\begin{bmatrix}2\\0\\\end{bmatrix}$

  • 这样分别解决了精度，逆元的一些问题。

消元操作是 $\Theta(n^3)$ 的，辗转相除法是 $\Theta(\log p)$ 的，因为辗转相除和消元每次必然使得数变小，势能只会减少，所以这个是均摊到 $\Theta(n^2)$ 的，最终有复杂度 $\Theta(n^2\log n+n^3)$。

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代码

#include<bits/stdc++.h>

#define INL inline
#define ll long long 

using namespace std;

const int N=605;

int n,a[N][N],MOD;

INL int read()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48,ch=getchar();
	return x*w;
}

INL int sol()
{
	int res=1,w=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{ 
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
		{
    		while(a[i][i])
			{
     	    	int div=a[j][i]/a[i][i];
        		for(int k=i;k<=n;++k)
				{
        		    a[j][k]=(a[j][k]-1ll*div*a[i][k]%MOD+MOD)%MOD;
        		}
        		swap(a[i],a[j]);w=-w;
    		}//对第 i 行和第 j 行做辗转相减。	
    		swap(a[i],a[j]);w=-w;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)res=1ll*a[i][i]*res%MOD;
	res=1ll*w*res;
	return (res+MOD)%MOD;//经 典 模 加 模
}

int main()
{
	n=read(),MOD=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=read();
	int ans=sol();printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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$$\text{Determinant}\texttt{——2021.03.21} \text{写在机房}$$

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Reference：

• $\text{Zhaoyuhang2008}$ - 题解 P7112 【【模板】行列式求值】

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本文作者：Reywmp
本文链接：https://www.cnblogs.com/reywmp/p/14563501.html
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