数学(3)——生成函数

生成函数是一个比较复杂且广泛的数学知识点，应当重点学习

首先给出一些运算公式，方便以后学习使用 (\(\texttt{from Concrete Mathematics}\))

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\[\begin{aligned} \alpha F(z)+\beta G(z)&=\sum_{n}(\alpha f_n+\beta g_n)z^n\\ z^mG(z)&=\sum_ng_{n-m}z^n&(m\geq0)\\ \frac{\displaystyle G(z)-g_0-g_1z-\dots-g_{m-1}z^{m-1}}{z^m}&=\sum_{n\geq0}g_{n+m}z^n&(m\geq0)\\ G(cz)&=\sum_nc^ng_nz^n\\ G'(z)&=\sum_n(n+1)g_{n+1}z^n\\ zG'(z)&=\sum_nng_nz^n\\ \int_{0}^zG(t)\mathrm dt&=\sum_{n\geq1}\frac{1}{n}g_{n-1}z^n\\ F(z)G(z)&=\sum_n(\sum_kf_kg_{n-k})z^n\\ \frac{1}{1-z}G(z)&=\sum_n(\sum_{k\leq n}g_k)z^n \end{aligned} \]

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给出一些神必的特殊的数的生成函数 (\(\texttt{from Concrete Mathematics}\))，一般来说用不到，但是以后可以通过这些式子的研究深入学习生成函数。

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\[\begin{aligned} \frac{1}{(1-z)^{m+1}}\ln(\frac{1}{1-z})&=\sum_{n\geq 0}(H_{m+n}-H_m)\binom{n+m}{n}z^n&(1)\\ \frac{z}{e^z-1}&=\sum_{n\geq0}B_n\frac{z^n}{n!}&(2)\\ \frac{F_mz}{1-(F_{m-1}+F_{m+1})z+(-1)^mz^2}&=\sum_{n\geq0}F_{mn}z^n&(3)\\ \sum_k{n\brace m}\frac{k!z^k}{(1-z)^{k+1}}&=\sum_{n\geq0}n^mz^n&(4)\\ (z^{-1})^{\overline{-m}}&=\frac{z^m}{(1-z)(1-2z)\dots(1-mz)}=\sum_{n\geq0}{n\brace m}z^n&(5)\\ z^{\overline{m}}&=z(z+1)\dots(z+m-1)=\sum_{n\geq0}{m\brack n}z^n&(6)\\ (e^z-1)^m&=m!\sum_{n\geq0}{n\brace m}\frac{z^n}{n!}&(7)\\ (\ln\frac{1}{1-z})^m&=m!\sum_{n\geq0}{n\brack m}\frac{z^n}{n!}&(8)\\ (\frac{z}{\ln(1+z)})^m&=\sum_{n\geq 0}\frac{z^n}{n!}{m\brace m-n}\bigg/\binom{m-1}{n}&(9)\\ (\frac{z}{1-e^{-z}})^m&=\sum_{n\geq 0}\frac{z^n}{n!}{m\brack m-n}\bigg/\binom{m-1}{n}&(10)\\ e^{z+wz}&=\sum_{m,n\geq0}\binom{n}{m}w^m\frac{z^n}{n!}&(11)\\ e^{w(e^z-1)}&=\sum_{m,n\geq0}{{n}\brace{m}}w^m\frac{z^n}{n!}&(12)\\ \frac{1}{(1-z)^w}&=\sum_{m,n\geq0}{{n}\brack{m}}w^m\frac{z^n}{n!}&(13)\\ \frac{1-w}{e^{(w-1)z}-w}&=\sum_{m,n\geq0}{\genfrac{<}{>}{}{}{n}{m}}w^m\frac{z^n}{n!}&(14)\\ \end{aligned} \]

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未完待续啊……