数学(1)——排列组合

排列组合是很基础的数学内容，根据字面意思分为 排列 和 组合 ，解决排列组合有很多方法，枚举，列表，以及套公式等等。

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排列组合定义

排列指的是从 \(n\) 个元素中，任取 \(m\) 个元素按照顺序进行不同的排列，有 线排列，重排列 和 圆排列 等，排列的个数叫做 排列数，用 \(\mathrm A_n^m\) 或 \(\mathrm P_n^m\) 表示。

组合是指从 \(n\) 个元素中，任取 \(m\) 个为一组的组合，组合所有的搭配个数叫做 组合数，用 \(\mathrm C_n^m\) 或 \(\displaystyle\binom{n}{m}\) 表示。

虽然也有定义，但是我们一般只考虑 \(m\leq n\) , \(n,m\in\mathbb N\) 的情况。

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加法与乘法原理

• 加法原理：达到一个目标有 \(n\) 种方法，\(a_i\) 表示第 \(i\) 种方法有多少个，所以解决问题的办法共有 \(\displaystyle \sum_{i=1}^na_i\) 种。
• 乘法原理：达到一个目标需要经历 \(n\) 步，\(a_i\) 表示第 \(i\) 步有多少种方法，所以解决问题的办法共有 \(\displaystyle \prod_{i=1}^n a_i\) 种。

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排列组合的一些公式

基本计算式

排列：首先基本的计算公式有

\[\mathrm A_n^m=n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]

可以考虑对于一个数列，不难发现第 \(i\) 个位置有 \(n-i+1\) 个选择，以此推出上式。

组合：有

\[\mathrm C_n^m=\frac{\mathrm A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

我们在排列中选出 \(m\) 人，但是由于组合不考虑排列，所以除去 \(m\) 个人的全排列，所以得出上式。

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关于二项式

组合数其实又称二项式系数。

我们拿出来一个叫做杨辉三角的玩意：

\[\begin{matrix} &&&&&&1&\\ &&&&&1&&1\\ &&&&1&&2&&1\\ &&&1&&3&&3&&1\\ &&1&&4&&6&&4&&1\\ &1&&5&&10&&10&&5&&1\\ 1&&6&&15&&20&&15&&6&&1\\ &&&&&&\vdots \end{matrix} \]

这个东西奥妙太深了，我们来领悟一下。

其实我们应该知道，杨辉三角的第 \(i\) 行的数，表示的是 \((x+y)^{i-1}\) 这个式子展开后各项系数。

不信可以来举几个例子看一下：

\((x+y)^2={\color{red}1}x^2+{\color{red}2}xy+{\color{red}1}y^2\) 发现是第 \(3\) 行的三个数。

\((x+y)^3={\color{red}1}x^3+{\color{red}3}x^2y+{\color{red}3}xy^2+{\color{red}1}y^3\) 发现是第 \(4\) 行的四个数。

\(\vdots\)

继续往下列仍然会成立的。

我们还可以通过奇怪的方法来验证这个结论。

我们给 \((x+y)^{i-1}\) 这个式子带入 \(x=1,y=1\) 得到 \(2^{i-1}\)

我们在杨辉三角中验证得：

\[\begin{matrix} &&&&&&1&&&&&&&=1=2^0\\ &&&&&1&+&1&&&&&&=2=2^1\\ &&&&1&+&2&+&1&&&&&=4=2^2\\ &&&1&+&3&+&3&+&1&&&&=8=2^3\\ &&1&+&4&+&6&+&4&+&1&&&=16=2^4\\ &1&+&5&+&10&+&10&+&5&+&1&&=32=2^5\\ 1&+&6&+&15&+&20&+&15&+&6&+&1&=64=2^6\\ &&&&&&\vdots \end{matrix} \]

发现他又成立辣！

所以这些系数是怎么得到的呢，我们抽象化地引入组合数的概念。

如果说我们写开一个 \((x+y)^n\) 的式子观察

\[(x+y)\times(x+y)\times(x+y)\dots\times(x+y) \]

我们考虑每次提取一个同类项 \(x^ay^b\) ，显然 \(a+b=n\) ，那么我们单独考虑 \(x\) 的话，我们发现就是从那 \(n\) 个 \((x+y)\) 因子中提出 \(a\) 个 \(x\) ，不同的 \(x^a\) 与 \(y^b\) 相乘组成不同的 \(x^ay^b\) ，这样整个问题就成为了 \(n\) 个 \(x\) 选 \(a\) 个的组合数问题。

这样第 \(i\) 行第 \(j\) 个数可以表示为 \(\displaystyle\binom{i-1}{j-1}\)

所以杨辉三角甚至可以表示为：

\[\begin{matrix} &&&&&&\binom{0}{0}&\\ &&&&&\binom{1}{0}&&\binom{1}{1}\\ &&&&\binom{2}{0}&&\binom{2}{1}&&\binom{2}{2}\\ &&&\binom{3}{0}&&\binom{3}{1}&&\binom{3}{2}&&\binom{3}{3}\\ &&\binom{4}{0}&&\binom{4}{1}&&\binom{4}{2}&&\binom{4}{3}&&\binom{4}{4}\\ &\binom{5}{0}&&\binom{5}{1}&&\binom{5}{2}&&\binom{5}{3}&&\binom{5}{4}&&\binom{5}{5}\\ \binom{6}{0}&&\binom{6}{1}&&\binom{6}{2}&&\binom{6}{3}&&\binom{6}{4}&&\binom{6}{5}&&\binom{6}{6}\\ &&&&&&\vdots \end{matrix} \]

于是从中可以看出一些组合数的性质

比如从杨辉三角的上下位置关系入手：

有：

\[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \]

可以考虑建立模型推导，或者直接暴力展开去证明这个式子。

以及对称性：

\[\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \]

包括根据定义得出的递推式：

\[\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1} \]

还有我们之前看每行的和得出来的：

\[\left\{\begin{aligned} \displaystyle\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\dots+\binom{n}{n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}&=2^n&(x=1,y=1)\\ \displaystyle\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}&=0 &(x=1,y=-1) \end{aligned}\right. \]

还有一些通过定义和组合意义证明的式子：

• \(\displaystyle \sum_{l=0}^n\binom{l}{k}=\binom{n+1}{k+1}\)
• \(\displaystyle\binom{n}{r}\binom{r}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{r-k}\) 可以抽象出模型定义证明
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\binom{n-i}{i}=\mathrm {Fib}_{n+1}\) \(\mathrm {Fib}\)是斐波拉契数列，可以通过杨辉三角模型证明

还有比较重要的 范德蒙德卷积

\[\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k} \]

组合意义证明的话，就是理解为 \(n\) 和 \(m\) 个物体的两堆中选择 \(k\) 个物品。

考虑二项式定理证明。

\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n+m}\binom{n+m}{i}x^i&=(1+x)^{n+m}\\ &=(1+x)^n(1+x)^m\\ &=(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^i)(\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}x^j)\\ &=\sum_{i=0}^{n+m}(\sum_{k=0}^i\binom{n}{k}\binom{m}{i-k})x^i\\ \therefore \sum_{k=0}^i\binom{n}{k}\binom{m}{i-k}&=\binom{n+m}{i} \end{aligned} \]

整理一下，证毕。

范德蒙德卷积有一些推论：

• \(\displaystyle \sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}=\binom{2n}{n-1}\)

证明：

\[\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i}\binom{n}{i+1}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i}\binom{n}{n-1-i} \]

根据范德蒙德卷积得：

\[\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i}\binom{n}{n-1-i}=\binom{2n}{n-1} \]

还有：

• \(\displaystyle\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}\binom{n}{n-i}=\binom{2n}{n};\)
• \(\displaystyle\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{i}=\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{m-i}=\binom{n+m}{m};\)

我们可以考虑一个带权的二项式系数的和为：

\[\sum_{i=0}^ni\binom{n}{i}=n2^{n-1} \]

这个应该是可以求导证明的。

进一步的，得到：

\[\sum_{i=0}^ni^2\binom{n}{i}=n(n+1)2^{n-2} \]

可以求导或者降幂暴力展开证明。

还有：

\[\sum_{i=0}^nk\binom{n}{k}^2=n\binom{2n-1}{n-1} \]

上式其实可以通过\(\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{n-k}\) 得到。

大概就是这么多。

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圆排列

线排列是有起点的，圆排列考虑围成了一个环，没有所谓起点。所以不考虑不同位置的 \(m\) 个起点，圆排列\((\mathrm Q_n^m)\) 公式为：

\[\mathrm Q_n^m=\frac{\mathrm A_n^m}{m}=\frac{n!}{m\times (n-m)!} \]

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重排列

有多重集 \(\mathbf M=\{n_1\times b_1,n_2\times b_2,\dots,n_k\times b_k \}\)

其全排列个数为 \(\displaystyle\frac{N!}{n_1!\times n_2!\times \dots\times n_k!}=\frac{N!}{\prod_{i=1}^k n_i} ,(N=\sum_{i=1}^kn_i)\)

证明，考虑对于这 \(N\) 个元素，虽然有重复，但是不考虑的话还是有全排列个数 \(N!\) ，对于任何一个重复 \(n_i\) 次的元素自身多计算了 \(n_i!\) 个排列，所以得到上式。

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\[\text{组合数学部分}\texttt{——2021.01.31~2.1} \text{写在笔记本电脑前} \]

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Reference：

• \(\text{OI Wiki}\) - 排列组合
• \(\textit{Concrete Mathematics Chapter 5}\)