Luogu P6857 【梦中梦与不再有梦】

这次2020十月月赛II的T1是组合数学。小学奥数的一笔画问题。

我们发现，当一个点的度为偶数时，那么与这个点相连的边必然满足进来后有相应配对的还没走的边可以出去。

那么一共能走的步数就是

\[\displaystyle \mathrm C_n^2 \]

满足这个条件的就是有奇数个点的时候,因为这样每个点出度都是\((n-1)\)。

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那么我们考虑每个点度为奇数时，也就是偶数个点，我们每个点最后一个边走不出去。

那就可能认为是：

\[\displaystyle \mathrm C_n^2-\frac n2 \]

但是我们仔细想想，因为我们走到最后一个点的时候是保证不能再走下去，那么最后一个点的所有边可以走完，并且有上一个点的一个边跟他匹配（其实就是同一条），那么就是留下2个度为偶数的点（多出一条边），其他点舍去一条边。

那么就是：

\[\displaystyle \mathrm C_n^2-\frac n 2+1 \]

综上:

\[ ans(n)=\left\{ \begin{aligned} &C_n^2-\frac{n}{2}+1 \ (n \bmod 2=0) \\ &C_n^2 \ (n \bmod 2=1) \end{aligned} \right. \]

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T1自然也可以通过欧拉回路（或哈密顿图）的相关性质获得思路，我觉得出题人的初衷也许就是考欧拉回路，所以大家可以参考一下，这里我便不多介绍了。

欧拉回路相关， \(\textit{from}\): \(\textit{Euler Graph--OI Wiki}\) \(or\) \(\textit{Hamilton Graph}\)