曲线积分和曲面积分的复习提纲

曲线积分

第一型曲线积分

• 计算一条光滑曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 上的标量场 $f(x,y,z)$。
• 公式：${\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(x,y,z)ds={\int }_a^{b}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2}dt$
• 其中 $x(t)$，$y(t)$，$z(t)$ 是曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的参数方程。

第二型曲线积分

• 计算一条光滑曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 上的向量场 $\mathbf{\text{F}}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{\text{i}}+Q(x,y,z)\mathbf{\text{j}}+R(x,y,z)\mathbf{\text{k}}$。
• 公式：${\int }_{\mathrm{\Gamma }}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}={\int }_a^b\mathbf{\text{F}}(x(t),y(t),z(t))\cdot \mathbf{\text{r'(t)}}dt$
• 其中 $\mathbf{\text{r}}(t)=x(t)\mathbf{\text{i}}+y(t)\mathbf{\text{j}}+z(t)\mathbf{\text{k}}$ 是曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的参数方程。

曲面积分

第一型曲面积分

• 计算一段光滑曲面 $S$ 上的标量场 $f(x,y,z)$。
• 公式：${\iint }_{S}f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x,y,z)|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\times \frac{\partial (x,y)}{\partial (v,w)}|dudv$。
• 其中 $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 是一个曲面参数化，$(u,v)$ 在定义域 $D$ 内遍历。

第二型曲面积分

• 计算一段光滑曲面 $S$ 上的向量场 $\mathbf{\text{F}}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{\text{i}}+Q(x,y,z)\mathbf{\text{j}}+R(x,y,z)\mathbf{\text{k}}$。
• 公式：${\iint }_S\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{S}}={\iint }_D\mathbf{\text{F}}(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\cdot (\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v)}\times \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (v,w)})dudv$。
• 其中 $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 是一个曲面参数化，$(u,v)$ 在定义域 $D$ 内遍历。