数学思想概论 第4辑 数学中的归纳推理 (史宁中 著)
绪论 为了推断的推理 (已看)
第一讲 原始推理的基础: 想象和抽象 (已看)
第二讲 基础思维的对象: 类 (已看)
第三讲 知识形成与归纳推理 (已看)
第四讲 基于一个类的归纳推理 (已看)
第五讲 归纳推理的合理性 (已看)
第六讲 基于两个类的归纳推理 (已看)
绪论 为了推断的推理
我们统称预测和探究为推断
归纳推理的定义: 从经验和概念出发, 按照某些法则所进行的, 前提与结论之间有或然联系的推理.
演绎推理是基于理念的推理, 归纳推理是基于事实的推理
演绎推理是追求形式的推理, 归纳推理是追求使用的推理
第一讲 原始推理的基础: 想象和抽象
1.1 人与动物的区别 是劳动吗?是思维吗?是直立行走吗?容量扩充了的大脑,特殊的发音器官.想象能力,抽象能力
每个人都会赞同这样的命题: 人是可以与其他所有动物区分的. 但是, 如何区分人与动物呢?最基本的标志是什么呢?这是一个非常基本的问题,这也是一个非常难以回答的问题. 至今为止, 对这个问题也没有一个统一的说法
人与动物最大的区别在于: 两个特别的生理器官,即扩充了脑容量的大脑和喉位较低的发音器官; 两个特别的行为方式, 即工具制造和语言交流; 两个特别的思维能力, 即想象能力和抽象能力
1.2 智力如何形成 脑得构造.大脑皮层的区域功能.计算机的启发.早期教育.智力开发
智力开发 传授知识
1.3 基本思维能力 智商不是思维的基础.思维是想象和抽象派生的.爱因斯坦的思考.范仲淹的想象
对于人的智力测试, 人们想出了各种指标加以度量: 记忆能力, 空间能力, 言辞能力, 表达能力, 理解能力, 数字能力, 归纳能力, 演绎能力等等. 直观地想, 这些能力都是存在的,都是有道理的, 并且可以认为这样的测试是多维目标的,因而综合测试的结果是更加全面的, 人们称这样的测试结果为智商,并且普遍认为智商高的人就有智慧
但是, 上面说的智商似乎与想象能力和抽象能力无关,也就是说,智商的高低与一个人的智慧之间似乎并没有必然联系。
一个人是否有具有智慧, 往往并不表现于行为的结果,而是表现于行为的过程.
就思维而言, 把智商的考核指标作为思维的基准是不可以的
支撑智商所涉及的各种能力的更底层的东西,我们称之为基本思维能力,也就是想象能力和抽象能力
人类的一切知识都是从直观开始的, 从那里进到概念, 而以理念结束 康德
想象力比知识更重要, 因为知识是有限的, 而想象力概括着世界上的一切, 推动着进步, 并且是知识进化的源泉.严格地说, 想象力是科学研究中的实在因素 爱因斯坦
1.4 直观有时是不可靠的 直观不是直觉.直观需要逻辑判断.眼见为实吗?一些几何学的例子
具有逻辑支撑的直觉为直观.这样,直观就是比直觉更高一个层次的概念. 如果说直觉来源于人的本能,那么直观来源于后天的经验.
第二讲 基础思维的对象: 类
虽然在最初阶段, 引发我们联想的那些关联事物的性能可能不是本质的, 但是, 人们只能通过联想建立此事物与他事物的联系, 人们只能在联想的基础上进行此事物和他事物的比较,从而作出对此事物的分析和判断.并且,只要在这个过程中对事物分析的深刻,就可能逐渐认识事物的本质.所以,我们可以认定: 联想是逻辑思维的开始
2.1 基于联想的思维 认识是从观察开始的, 想象是从联想开始的. 联想的三个定律. 联想的结结果是类
在英语中, 与联想对应的词是association,这个词的愿意是联合, 协会的意思.这个词最初用于思维领域的用法是 an association of ideas, 即观念的联合.
思维习惯的不同会直接影响到联想的有效性, 进而影响到想象能力和抽象能力
三大联想定律
- 相似律 对性质,功能或形状有某种相似的事物表象进行联想.
- 对比律 对性质,功能或形状有明显相反的事物表象进行联想
- 接近律 因为某种特殊的逻辑关联进行的联想
想象和抽象的思维对象是通过联想得到的类
2.2 通过共相得到类 如何得到类. 形式分类. 实质分类. 自然数的类. 方程解的类
类就是那些具有某种特性的事物构成的群体.
不具有相同形式的事物, 必然不具有相同的性质
一般来说,形式是事物的表象, 性质是事物的内在.因此,我们可以认为, 从表象出发构建类, 然后探寻类中事物的共同性质是一种自然的并且是合理的思维方式
- 原始分类 基于形式的分类
- 实质分类 基于性质的分类
符号化的分类最初都是从形式分类开始的
2.3 通过异相划分类 如何区分类. 区分牛和马. 有限单群分类. 有理数的认识. 三角形的认识
能够明显区分类与类之间不同的特性为异相
共相适用于研究类的内部, 异相适用于研究类的区别
在分类过程中,基本思维方式就是根据经验进行类之间的比较, 这种思维方式在本质上是归纳推理
第三讲 知识形成与归纳推理
原始分类主要依赖想象能力, 实质分类主要依赖抽象能力
知识是一种结果
3.1 定义与类的关系 类是定义的基础. 函数定义的形成过程. 点线面定义的形成过程
函数的定义
1673年, 莱布尼茨第一次提出函数的概念, 它给出的定义是:
用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量
1718年, 约翰·贝努利把函数的定义说得非常明确:
函数是由变量x和常数组成的式子
1755年, 欧拉给出了一个现在我国的初中数学教材中仍然使用的定义
如果某变量以如下方式依赖于另一些变量, 即当后者变化时, 前者本身也发生变化, 则称前一个变量是后一些变量的函数
1851年, 黎曼对函数进行了进一步的抽象, 对应说
我们假定x是一个变量, 如果对于它的每一个值,都有未知量y的一个值与之对应, 则称y是x的函数
1939年, 布尔巴基学派给出了函数的新定义, 关系说
若X和Y是两个集合, 称由数对(x, y)组成的集合为笛卡尔积, 其中x∈X, y∈Y; 笛卡尔积中的一个子集F被称为x和y之间的一种关系, 如果关系F满足, 对每一个x∈X, 都存在唯一的一个y,使得(x,y)∈F, 则称F是一个函数
3.2 知识形成过程中的归纳推理 知识与定义的关系. 通过"风险"的认知过程理解归纳推理的效能
原始分类是思考定义的基础, 归纳推理是构建定义的基础, 演绎推理是确认定义的基础
以加权平均的形式出现的函数是一类非常重要的函数, 因为这样的函数表达了未来可能出现情况的平均状态,人们通常称这样的函数为期望
从事例中抽象出共性, 利用共性指定原则, 基于原则确立定义
人们称那些针对某一类世纪问题而构建的数学概念和方法为模型, 因此,模型是连接数学与现实世界的桥梁
3.3 归纳推理与类的关系 归纳推理与抽象. 归纳推理是基于类的推理. 归纳推理也作用于类的形成过程
归纳推理就是由这个类中个别事物成立的命题推断这个类中所有事物命题成立的思维过程
第四讲 基于一个类的归纳推理
正确的经验可以使人们得到直观
所有处理经验的方法以及从经验中产生正确信念的方法都可以称为归纳
4.1 结果可能是必然的归纳推理 推理模式. 哥德巴赫猜想. 费马大定理
归纳在本质上是一种思想方法, 这种方法表现在思维的过程之中, 对于这种方法的把握不是靠人们的理解而是靠人们的感悟, 是一种"意会"重于"言传"的东西
4.2 如何让学生感悟归纳推理的过程 积累思维的经验. 分数的除法. 参数方程. 计算公式的形成
根据具体问题的实际背景一步一步地验证, 最后给出一般的运算法则
"根据同样的道理"的思维方法被称为类比
基于数值一步一步推演的解答问题的方法为类推
掌握从具体问题入手进行计算的方法,积累最正确的思考问题的经验
从具体问题出发,尝试数字计算, 摸索规律法则, 得到一般公式
4.3 结果已知是或然的归纳推理 推理模式. 废品率的推断. 动物数量的推断. 社会问题的推断
事情的某种结果发生与否以及发生的程度是或然的而不是必然的, 我们称这样的问题为结果已知是或然的
第五讲 归纳推理的合理性
5.1 最大可能性原则 基于概率的思维解释. 数学定义的概率. 模型中的概率. 频率. 最大可能性估计
用p表示结果A发生可能性的大小, 并且称这个可能性的大小为概率
古典概率: 概率是一个分数, 分子是有利情况的数目, 分母是所有可能情况的数目.
对未知的概率进行推断而不是定义
取值不确定的量为随机变量
基于经验的推理必然要通过经验的验收
5.2 归纳推理的原理 归纳推理的出发点. 自然齐一性原理. 概率是事物的属性. 平均相等标准. 极限相等标准
自然齐一性原理, 强调了不确定事件的可以重复性
观察得到样本, 通过样本推断总体
概率是类中事物的一个固有属性
5.3 偶然与必然: 一个遗传学的启示 事物的发生形态. 必然不可知. 孟德尔的思维过程. 构建必然的假说. 通过偶然验证假说. 一个统计学的工具. 判断真理的原则
通过偶然认识必然,通过必然解释偶然
5.4 原因与结果: 休谟问题 原因是结果的必要条件. 原因的层次. 原因的界定. 联系恒定性原理. 因果模型. 药物的有效性. 经济增长原因. 休谟问题的回答
相信世界在本质上是有秩序的和可认识的这一信念, 是一切科学工作的基础, 爱因斯坦
5.5 归纳推理的有限性
通常称与时间有关的数据序列为时间序列
第六讲 基于两个类的归纳推理
所谓基于两个类的推理, 本质上还是对一个类中事物的性质进行推理, 只是在推理的过程中参照另一个类事物的相关性质
观察到两个或两类事物在许多属性上都相同, 便推出它们在其他属性上也相同, 这就是类比
6.1 结论可能是必然的类比 参照另一个类已知结论的推理. 类比的推理模式. 点的表示与两点间距离. 角的大小与向量的内积. 球与球的表面
可以把结论可能是必然的类比的思想过程描述如下:
A和B两个类事物都具有性质a,b,c
在A类中结果d成立
/在B类中结果d成立
数学是一种发明, 依赖的原型是现实, 依赖的方法是抽象, 依赖的思想是归纳
6.2 结论已知是或然的类比 参照另一个类可能结果的推理模式. 股票价格推断. 彩票中奖推断
结果已知是或然的类比的思维过程描述如下:
A和B两个类事物都具有性质a,b,c
在A类中结果d发生过
/在B类中结果d可能会以同样的可能性发生
这种思维模式正是我们通常说的调查研究
6.3 基于两个类推理的可能性 类比方法与归纳方法的区别. 类比方法与归纳方法本质的一致性. 《墨经》的启发. 如何进行类比方法的教学
参考
《理想国》《法律篇》 柏拉图
《西方哲学史》 罗素
《公孙龙子》 公孙龙子
《形而上学的逻辑基础》 迈克尔*达米特
《人性论》《人类理智研究》《论灵魂不死》 休谟
《原始思维》 列维*布留尔
《达尔文的幽灵》 史蒂文*琼斯
《物种的起源》《人类的由来》 达尔文
《人类的起源》 理查德*利基
《资本论》 卡尔*马克思
《自由与形式》《神话思维的概念形式》《语言与神话》《符号形式的哲学》《人论》《人文科学的逻辑》 恩斯特*卡西尔
《大脑如何思维》 威廉*卡尔文
《认知,脑与意识》 B.J.Baars and N.M.Gage
《思维的版图》 理查德*尼斯贝特
《纯粹理性批判》 康德
《形式逻辑》 金岳霖
《归纳逻辑的百年历程》
《形而上学》 亚里士多德全集
