数学思想概论 第3辑 数学中的演绎推理 (史宁中 著)

绪论 数学的推理 (已看)

第一讲 基本推理的基础 (已看)

第二讲 具有传递关系的推理 (已看)

第三讲 具有递推关系的推理 (已看)

第四讲 具有递推关系的运算 (已看)

第五讲 现代数学基础:: 集合论 (已看)

第六讲 借助符号表示的推理 (已看)

附录 中国古代的命题, 定义和推理

 

绪论 数学的推理

对象概念是指, 数学所要研究的那些东西, 比如自然数, 实数, 点,线,面等等

关系概念是指, 表示对象之间关系的逻辑术语

数学流程的基本形态: 借助推理把关系概念应用于对象概念, 得到数学基本命题

数学结果的推理过程: 从条件出发, 借助归纳推理"预测"数学模型, 借助演绎推理"验证"数学结果　　 

第一讲 基本推理的基础

　　1.1 推理的工具: 语言

我们通常所说的语言所表达的是关于事物(事件和实物)的信息, 是必须由若干个声音符号组合而成的复杂的声音符号

所谓语句是指: 表达一个完整思想的语言单位, 如果不涉及论证过程, 数学中的语句通常以命题的形式出现. 所谓命题是指: 或者可以通过分析, 或者可以通过经验证实的语句. 也就是说, 命题是一种可以进行是非判断的语句

　　1.2 推理的对象: 命题

数学命题的核心是叙述研究对象之间的关系, 即把关系概念应用于对象概念 

在一般意义的意义上,命题是一种能够进行肯定或者否定判断的语句

在数学推理过程中的命题必须是简洁准确, 不能引发歧义的语句.

两种形式

1. 正命题　　数是可以比较大小的
2. 否命题　　这个三角形不是直角三角形

四种结果　　其中前面的"正"或"否"表示判断的结果,后面的"正"或"否"表示命题本身的属性

1. 正正
2. 正否
3. 否正
4. 否否

所谓"判断"是指通过经验直觉或者推理分析得到肯定或者否定结论的思维形态

每一个数学命题都被"是"或者"不是"这样的系词分为两个部分,为了讨论问题方便, 我们称这样的语句为系词结构, 称命题的前半部分为所指项, 后半部分为命题项.这相当于汉语语法中的主词和谓词

为了数学推理的确定性, 我们规定: 数学命题中的所指项必须定义明确

• A->P 表示正命题, 即A中的元素都具有性质P
• A~P 表示否命题, 即A中的元素都不具有性质P

从集合包含的角度

• A⊆Ω 表示正命题, 即A中的元素都属于Ω
• A⊆Ω^C 表示否命题, 即A中的元素都不属于Ω

所以,数学命题就可以归结为"属于"关系, 或者"包含"关系,须要注意的是, 按照我们的规定,数学命题中的所指项必须是元素或者是集合,命题项可以是集合也可以是类　

　　1.3 命题的基础: 定义

定义是命题的基础

数学定义大概可以分为两种

　　名义定义　　是对某些事物标明符号,或者是对某类事物指明称谓. 

　　　　　　　　完全符号化的定义有一个最大的好处,那就是可以避免许多可能出现的争议,也有一个最大的坏处, 那就是这样的定义使得初学者无法把握研究对象的实质,进而无法很好地理解所要研究问题的对象　　

　　　　　　　　处理好一般与具体之间, 抽象与实体之间的关系, 是数学教育的基本法则之一

　　实质定义　　是指揭示所研究问题对象内涵的逻辑方法

　　　　　　　　给出准则构建一个集合A,如果利用这个准则,对任何元素x都能明确地判断元素x∈A还是x∈A^C,则称这个准则为定义,A是这个定义所对应的集合

如果我们要给出一个新的定义或者进一步确认一个已经存在的定义,至少应当做下面三个步骤的工作:

• 给出准则　　明确命题中所指项和命题项之间的关系,明确命题的内涵,依据内涵给出准则
• 验证准则　　通过例子验证准则是否满足要求,特别是验证那些可能成为反例的例子
• 确立定义　　如果验证无误,根据准则确立定义

 

对于某人,好伙食的标准是有红烧肉和炒青菜.朋友A请吃饭,有清蒸鱼,红烧肉,炒青菜;朋友B请吃饭,有红烧肉

那么,对于这个人来说,朋友A提供了好伙食的充分条件,朋友B提供了好伙食的必要条件.因为,对于朋友A,虽然清蒸鱼是不必要的,但满足好伙食的全部条件红烧肉和炒青菜都有了;对于朋友B,虽然仅凭红烧肉是不充分的,但这个条件是必要的,因为没有红烧肉不能成为好伙食

现在,我们可以一般地阐述充分条件和必要条件了.用A表示命题条件所对应的集合,用P表示命题的结论,那么充分条件和必要条件可以表述为

　　充分条件　　如果A成立那么必然有P成立,即有A->P

　　必要条件　　如果A不成立那么必然有P不成立, 即有A^C~P

如果用集合的包含关系表示, 那么有:

　　必要条件⊆命题P成立的条件⊆充分条件

这样,我们所说的充分必要条件是指:必要条件和充分条件是一样的,即必要条件≡充分条件.根据包含关系的传递性,对于充分必要条件可以得到关系式:

　　必要条件≡命题P成立的条件≡充分条件

如果一个命题是充分必要的,这个命题的命题项,即必要条件也可以作为定义

定义的功能是为了明确讨论问题的对象,命题的功能是为了表述所讨论问题的实质,论证的功能是分析条件和结果之间的关系

　　1.4 三个基本原则

我们还是遵循形式逻辑中三个最古老的原则,批判地把这三个原则适用于数学的命题,定义和推理中.这三个原则就是: 同一律,矛盾律和排中律

　　同一律　　是指一个事物与自身同一,表示为A=A.

　　　　　　　数学同一律: 如果一个集合A是确定的,那么,一个元素x或者属于集合A或者不属于集合A.我想特别强调的是,在我们现在的数学中只讨论具有这种性质的集合

　　矛盾律　　一个命题P不能同时为真又为假,即P与P^C不能同时成立

　　　　　　　如果P是一个数学命题,则不存在一个集合A,使得A->P和A~P同时成立.可以看到,整个原则对于数学推理是非常重要的,没有这个原则几乎寸步难行

　　排中律　　一个命题P不是真的就是假的,即P与P^C必有一个成立.

　　　　　　　如果P是一个数学命题,A是一个确定的集合,那么A->P或者A->P^C,二者必居其一.数学推理中经常使用的反证法所依赖的基本原理就是排中律

第二讲 具有传递关系的推理

　　2.1 直言三段论

三段论是一个包括大前提,小前提和结论三个部分的论证形式

全称肯定型　　专业术语为AAA型,亚里士多德给出的例子是: 凡人都有死,苏格拉底是人,所以苏格拉底有死

A表示人的集合,用x表示苏格拉底,用P表示死这样的事情,则上面的推理形式可以为

　　A->P.

　　x∈A.

　　/x->P. (/代表所以的意思)

结论x->P是来源于大前提A->P的定义.因此,从条件到结果是必然的.从推理的过程看,可以认为这个形式的推理是不言而喻的,甚至可以认为这个形式的推理是毫无意义的,但是,这个论证形式在日常生活中特别是在数学证明中确实非常重要的

省略大前提　　往往认为大前提是人所共知的,可以省略

　　x∈A.

　　/x->P.

苏格拉底是人.所以苏格拉底有死

省略小前提　　往往是为了便捷,把小前提与结论一起阐述

　　A->P.

　　/x->P.

凡人都有死.所以苏格拉底有死

在数学的证明中不能使用三段论的省略形式,必须注意到: 小前提被大前提包含是三段论的核心,如果用省略形式可能会出现基本概念的混淆.也就是说,在三段论的论证过程中证明x∈A是不可以忽略的,这一点也是同一律所要求的

全称否定型　　专业术语为EAE型.亚里士多德给出的例子是: 没有一条鱼是有理性的.所有的鲨鱼都是鱼.所以没有一条鲨鱼是有理性的

　　A~P.

　　x∈A.

　　/x~P.

特称肯定型　　专业术语为AII型.亚里士多德给出的例子是: 凡人都有理性,有些动物是人.所以有些动物是有理性的

　　A->P.

　　A⊆B.

　　/A∩B->P.

特称否定型　　专业术语为EIO型.亚里士多德给出的例子是: 没有一个希腊人是黑人.有些人是希腊人.所以有些人不是黑色的

　　A~P.

　　A⊆B.

　　/A∩B~P.

对于数学的推理而言,全称肯定,全称否定,特称否定这三种形式的直言三段论是有效的,也是经常被使用的

　　2.2 直言三段论的本质

在推理的过程中, 包含关系的可传递性起到了关键作用

直言三段论表述的是集合之间的包含关系, 这种关系具有传递性

”具有传递性"这个命题应当作为人们可能进行逻辑推理的基础

错误的推理: 所有三角形的内角和都是180度, 平角不是三角形, 所以平角不是180度 

　　2.3 传递三段论

把直言三段论推广到所有具有传递性的关系, 并称其为传递三段论. 这样,直言三段论就是传递三段论的一种特殊情况

二元关系≈是指,对于A中的元素x和y, 不是x≈y就是y≈x, 如果x≈y并且y≈x,那么就认为这两个元素是等价的, 表示为x = y. 

进一步,称这个二元关系在A上具有传递性(比如, 包含关系, 相等关系, 大小关系, 高矮关系, 前后关系, 顺序关系等等), 如果对于集合A中的元素x, y和z, 这个关系满足下面条件:

如果 x ≈ y, y ≈ x, 则 x ≈ z

传递三段论推广了传统的直言三段论

第三讲 具有递推关系的推理

数学归纳法是一种演绎的方法

如果用G表示条件,P表示结论, f(n)表示第n步的推理,那么, 上一讲所讨论的推理答题可以表示为:

G -> f(1) -> ... -> f(n) -> P

如果命题P能够分解为有限个命题, 用P(n)代替f(n)表示第n步的命题

G->P(1)->...->P(n)->P

或者,形成更为一般的无限步的推理过程

G->P(1)->...->P(n)->...->P

　　3.1 完全归纳法

完全归纳法是一种非常简单的推理方法: 令A是一个包含有限元素的集合, 如果验证了每一个元素都具有性质P, 则认为这个集合中的所有元素都具有性质P

归纳法由亚里士多德提出, 逻辑学家改称这种方法为完全归纳法, 用来区别两千年后由培根创立的归纳法

一个比完全归纳法更为一般的方法被称为简单枚举法: 令A是一个包含有限元素或者可数元素的集合, 如果验证过的集合中的每一个元素都具有性质P, 则认为这个集合中的所有元素都具有性质P.

简单枚举法与完全归纳法的区别在于: 没有验证或者步可能验证集合A中的所有元素

　　3.2 数学归纳法

从简单枚举法的讨论知道, 我们无法完成对于所有编号命题的逐一验证, 但是, 凭借直观我们可以接受这样的事实: 验证P(1)成立, 如果假定P(n)成立就可以验证P(n+1)成立, 那么, 就认为命题P对集合中所有的元素成立.

数学归纳法的标准推理模式如下:

　　1. 验证命题P(1)成立

　　2. 假设命题P(n)成立

　　3. 验证命题P(n+1)成立

　　/集合A上的命题P成立

通常称第二部中的假设为归纳假设. 

数学归纳法的核心和难点都在于P(n)->P(n+1)这个过程的验证, 但是,对于命题P(1)的验证也是不能忽略的

　　3.3 数学归纳法的变化

第四讲 具有递推关系的运算

通过运算得到的结果是必然的, 我们可以认为运算也是属于演绎推理, 在这个意义上, 通过计算得到结果也属于证明

　　4.1 电子计算机的出现

第一台能够真正运算的电子计算机是 ENIAC(Electronic Numerical  Integrator and Computer), 诞生于1945年

由五部分构成: CA(计算器), CC(逻辑控制器), M(存储器), I(输入), O(输出)

冯·诺伊曼所说:

除了进行基本运算的能力外, 一个计算机必须能够按照一定的序列, 或者不如说按照逻辑模式来进行计算, 以便取得数学问题的解答和我们进行笔算达到的目的相同

我们称这样的逻辑模式为计算逻辑 

　　4.2 二分法与优选法

虽然计算机使用的语言可以是不同的, 但各种计算机语言所遵循的计算逻辑是一样的 

　　4.3 黄金分割 

　　4.4 牛顿法

计算逻辑属于演绎推理的范畴 

第五讲 现代数学基础:: 集合论

　　5.1 集合的定义

现代意义上的集合概念是德国数学家康托给出的

第一个集合论公理系统是德国数学家策梅罗于1908年给出的 

　　5.2 集合论公理化体系

两个必不可少的条件:　　集合是由元素唯一确定的, 元素与集合之间存在属于关系

集合论公理化系统是现代数学的基础, 由策梅罗提出, 弗兰克尔进行了少量的修改, 人们称它为 ZF系统

通常采纳的九条

　　1. 外延公理. 对于两个集合A和B， 如果A中的任一元素都是B中的元素,B中的任一元素都是A中的元素, 则这两个集合都是同一集合,记为: A≡B

元素确定了集合就唯一确定了

　　2. 空集公理. 存在没有任何元素的集合

本质上是一种定义, 确定了空集的存在, 这是为了定义集合运算的需要, 我们用Φ表示空集

　　3. 无序对公理. 对于任意两个集合A和B, 无序对 {A, B}或者 {B, A}构成一个新的集合

如果用A表示一个集合, 则用Ω={A}表示以A为元素的集合, 为了与原有的集合区别, 通常称Ω为类或者域

　　4. 并集公理. 对于任意两个集合A和B, 都存在一个集合C, 使得C中的元素恰为A中的或B中的元素, 记为: C = A U B

相当于定义了集合的加法运算

　　5. 无穷公理. 存在这样的集合, 其元素恰好是所有的自然数

允许无穷集合的存在

　　6. 替换公理. 令命题形式f(a, b)表示: 对于每一个元素a, 都有唯一的元素b使得命题成立. 那么, 对于任意的集合A, 存在一个集合B, 使得B中的元素b由f(a, b)确定,其中a为A的元素, 记集合 B={b; b->f(a,b),a∈A}

　　7. 幂集公理. 对于任意集合A, 都存在集合B, 使得B中的元素是由A的所有子集构成的

对于集合A, 称由集合A的所有子集包括集合A本身所形成的新的集合为集合A生成的域

　　8. 选择公理. 令Ω= {A_δ; δ ∈ Δ}是由集合组成的类, 则存在一个集合, 这个集合恰好是由这个类中的每一个集合中抽取一个元素组成的

　　9. 正则公理. 对于任意集合A, A不属于A

限制了罗素悖论的可能性 

　　5.3 选择公理

讨论实数集合大小的度量, 我们称为集合测度

集合测度至少要满足下面四个条件: 令 Ω是由实数集合构成的类, m是类中的集合测度, 那么

　　1. 零测度. 空集的测度为零, 即m(Φ) = 0

　　2. 单调性. 对于Ω中的两个集合A和B, 如果B ⊆ A, 那么 m(B) <= m(A)

　　3. 可加性. 对于Ω中的两个集合A和B, 如果A ∩ B = Φ, 那么m(A∪B) = m(A) + m(B), 并且这个结果对任意可数个不相交的集合也成立

　　4. 平移不变性.  对于给定的实数c, 令B(c, A)表示集合A对于c的平移变换得到的集合, 则这两个集合的测度相等, 即令 B≡B(c, A) = { b = c + a; a ∈ A}, 则m(B) = m(A)

　　5.4 无穷的度量与连续统

无限主要是针对量而言的, 无限所涉及的领域就要更加广泛

如果集合A中有无穷多个元素, 则称集合A中元素个数的多少为"势"

可数多个是最小的势,人们通常用ℵ₀来表示这个势, 读为"阿列夫零", 人们还用c来表示实数的"势", 因为在这个时候戴德金已经证明了实数是连续的, 因此也称c为连续统的势, 或者简称为连续统

　　5.5 序集,良序集与超限归纳法

用≺表示集合A上的一个二元关系, 这个关系被称为序关系, 如果这个关系满足:

　　1. 自反性: 对任何a∈A, 都有a≺a;

　　2. 等同性: 对a∈A和b∈A, 如果a≺b并且b≺a, 那么a=b;

　　3. 传递性: 对a∈A,b∈A和c∈A,如果a≺b并且b≺c, 那么a≺c

　　4. 可比性: 对a∈A和b∈A, 不是a≺b就是b≺a

满足4个条件的序关系称为全序, 不满足第4个关系的序关系称为半序

 

全序集合A被称为良序集, 如果A的任意一个子集都存在最小元

 

第六讲 借助符号表示的推理

出发依赖的是符号, 论证依赖的是公理, 推理依赖的是形式

　　6.1 符号表示的开始

在思维方面也可以借助符号进行演算

如果说, 亚里士多德开创的借助语言的逻辑学是对人类思维活动的第一次抽象的话, 那么, 由布尔开创的借助符号的逻辑学是在第一次抽象基础上的第二次抽象 

　　6.2 布尔的符号运算及其发展

1. 交换律　　A + B = B + A; A · B = B · A

2. 结合律 　　A + (B + C) = (A + B) + C; A · (B · C) = (A · B) · C

3. 分配律　　A + (B · C) = (A + B) · (A + C); A · (B + C) = (A · B) + (A · C)

4. 吸收律　　A +(A · B) = A; A · (A + B) = A

5. 等幂律　　A + A = A; A · A = A

6. 0-1律　　A · 0 = 0; 1 + A = 1

7. 德摩根律　　(A + B)^C = A^C · B^C; (A · B)^C = A^C + B^C

　　6.3 自然数公里体系

戴德金:

如果在考虑被映射Φ排成次序的简单无穷系统N时, 我们忽略元素的特殊性质, 只保留它们可区别的性质, 并只考虑它们之中存在的, 通过有次序的映射Φ所形成的一对一的关系,那么, 这些元素就称为自然数, 或者序数, 或者简称为数, 基本元素1称为数列的基本数,......它们构成了数或者算数科学的直接对象

附录 中国古代的命题, 定义和推理

　　A1 认知的对象

　　A2 认知的出发点

　　A3 命题域定义

　　A4 中国古代推理的基础: 分类

　　A5 分类的思维基础: 归纳和类比

　　A6 基于分类的论理准则: 正名和中庸