数学思想概论 第2辑 图形与图形关系的抽象 (史宁中 著)
第一讲 图形的认识 (已看)
第二讲 图形的表示 (已看)
第三讲 图形抽象的思想基础 (已看)
第四讲 图形抽象的典范 (已看)
第五讲 几何作图及相关的数学发展 (已看)
第六讲 平行线及相关的数学发展 (已看)
第七讲 公里体系的数学发展 (已看)
第八讲 图形的量化 (已看)
第九讲 图形的变换 (已看)
第十讲 数学的抽象 (已看)
第一讲 图形的认识
1.1 图形抽象与人类文明
人们对图形的抽象的第一步是描绘物体的外部形象, 其核心是把三维空间的物体用线条描绘在二维平面上
我们可以作这样的猜测: 最初的文字都是象形文字
欧洲文字->古拉丁文->古希腊文->古埃及文
1.2 图形大小的计算
使得图形成为数学研究对象的真正动力, 还是土地测量等生产实践
几何学起源于古埃及
geometry 土地测量
1.3 直角三角形
在图形的研究中, 直角三角形是最为基础的, 也是最为重要的. 几乎所有的古代文明都研究了直角三角形
第二讲 图形的表示
2.1 最初的几何命题
现代西方哲学家们普遍认为哲学是从古希腊的学者泰勒斯开始的, 并且普遍认为在那个时代, 哲学与科学是不分的, 这就意味着科学也是从泰勒斯开始的.
泰勒斯预测了日食, 公元前585年的5月28日
经验几何
依赖经验的计算说到底也只是一个具体的例子, 没有摆脱具体内容的命题也不能称其为定理
2.2 正多面体
教学要成体系, 要明确概念, 要构建前后关系
2.3 地球是圆的
古希腊学者 埃拉托色尼
第三讲 图形抽象的思想基础
数学抽象在本质上表现为对概念的抽象和证明的抽象
3.1 关于概念
几何学的建立使得数学从经验转化为理性, 从特殊上升为一般, 从而称为一门科学
亚里士多德创造的词汇
官能, 准则, 动机, 目的, 原则, 形式, 范畴, 分类, 能量, 潜能, 中庸, 三段论, 现实性等等
逻辑学是一门研究如何正确思维的科学和艺术
柏拉图, 唯实论, 一般概念是具有客观存在性的, 要去发现客观世界中已经存在了的概念
亚里士多德, 唯名论, 一般概念是人从感性的经验中通过直观和抽象获得的, 只存在于我们的主观意识之中, 而不是看得见摸得着的客观存在
3.2 关于证明
亚里士多德把不需要证明的前提分为两类:
一类是获得任何知识都必须把握的前提, 称之为公理, 比如 等量加等量还是等量
一类是获得某些专门领域的知识必须把握的前提,称之为公设, 比如, 两点决定一直线
形式逻辑的两个基本规律
矛盾律, 一个事物不能同时是A和非A
排中律, 一个事物不是A就是非A
第四讲 图形抽象的典范
4.1 欧几里得《几何原本》概述
《几何原本》对命题的证明方法也成为数学证明的规范方法
《几何原本》原书直接的意思是"诸定理"
根据利玛窦和徐光启最初的想法, 我们可以把几何理解为: 用形式逻辑的方法研究空间图形的学科
几何学的公理体系的基本结构, 是人类建立的第一个能够被称之为科学的学科体系, 给数学甚至物理学等自然科学的确立做出了楷模
4.2 定义,公设和公里
1. 点是没有部分的
2. 线只有长度没有宽度
3. 面只有长度和宽度
4. 直线是它上面的点一样地平放着的线
7. 平面是它上面的线一样地平放着的面
8. 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜角
9. 当包含角的两条直线是一条直线时, 这个角叫做平角
10. 当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时, 这些角的每一个叫做直角, 而且称其中一条直线垂直于另一条直线
23. 平行直线是在同一平面内的直线, 向两个方向无限延长, 在不论哪个方向它们都不相交
五个公理
1. 等于同量的量彼此相等
2. 等量加等量, 其和相等
3. 等量减等量, 其差相等
4. 彼此能重合的物体是全等的
5. 整体大于部分
这五个公理是超出数学的, 符合人们生活的经验和思维的常理, 完全符合亚里士多德对于公理所提出的要求
五个公设
1. 由任意一点到任意一点可以作直线
2. 一条有限直线可以继续延长
3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆
4. 凡直角都相等
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交, 若在某一侧的两个内角的和小于两个直角, 则这两条直线经无限延长后再这一侧相交
想象是需要凭借经验的
4.3 命题的逻辑和叙述
第五讲 几何作图及相关的数学发展
几何代数, 用几何的方法来解决代数的问题, 从而避免无理数带来的尴尬
5.1 线段的四则运算和根式运算
比例, 《原理》第5卷的核心, 欧几里得比例论
单位线段, δ
5.2 由"尺规作图"得到的集合
5.3 不可作图问题
第六讲 平行线及相关的数学发展
数学的目的不是为了更好地解释这个多彩的世界, 而是为了更好地描述这个多彩的世界
6.1 平行公设的改写
定义限定了一个研究的范围
6.2 存在两条以上的平行线: 罗巴切夫斯基几何
6.3 不存在平行线: 黎曼几何
黎曼几何, 椭圆几何, 微分几何
第七讲 公里体系的数学发展
形式化的含义: 不管我们讨论的对象的实质是什么, 只要从已经定义了的, 用符号表示的对象出发, 依据所确定的几组公理以及认定的逻辑法则推导出的结论就一定是正确的, 这就是理想中的, 脱离了经验的数学
在本质上, 几何研究的基础包括两方面, 一方面是基本概念, 一方面是论证的出发点
帕斯认为公理不应当是不证自明的真理, 而是用以产生一门特殊的几何的一些假定
7.1 研究对象的符号化
为了摆脱研究对象的物理属性, 最好的方法就是将研究对象符号化, 事实上, 也只有通过对于符号的计算或者推理, 才可能真正地消除经验直觉, 才可能得到更为一般的结论
事实上, 对于许多物理属性的对象, 我们并不需要深究其原因, 寻求清晰的描述性的定义, 而只需要合理地描述对象之间的关联, 这就足以把握对象的本质. 比如引力
康德: 人类的一切知识都是从直观开始的, 从那里进到概念, 而以理念结束
7.2 论证过程的形式化
7.3 公理体系的合理性
相容性: 所谓相容性就是指公理之间是无矛盾的, 即不可能从上述几组公理出发, 用逻辑推理得到的结果与其中一个公理相矛盾
独立性: 所谓独立性就是指任何一组公理都不是其他几组公理的逻辑推论
公里体系的完备性: 在某一个领域建立了公理体系, 如果要判断基于这个领域概念的任意一个有意义的命题的真伪性, 这个体系所提供的公理都是充分的, 那么就称这个公理体系是完备的
第八讲 图形的量化
8.1 坐标系产生的数学背景
8.2 解析几何: 图形的位置
笛卡尔, 1637, 解析几何
解析几何的核心思想就是建立一个参考系, 借助参考系通过数量分析的方法研究几何图形及其变化
用一条射线和一个角度也可以作为平面图形的参照系, 这便是极坐标
8.3 度量几何: 图形的运动
运动是需要参照系的
运动后, 物体上任意两点之间的距离不变, 则称这个运动为刚体运动
一个运动是刚体运动当且仅当运动所对应的矩阵是正交矩阵
度量几何
射影几何
仿射几何
第九讲 图形的变换
9.1 平面的图形变换
拓扑学一词的原意也是关于位置的学问
拓扑学称由一些点和线(无论是直线还是曲线)组成的图为网络
点为顶点
连接顶点之间的线为棱
由一些棱首尾相连组成的线为路径
如果一个网络的任意两个顶点之间都可以通过路径连接起来, 则称这个网络为连通的
称连接某个顶点棱的个数为指数
E = 1/2 (a1 + 2a2 + 3a3 +... + nan)
V - E 为网络的欧拉示性数
在棱上用箭头标出方向, 箭头起始的顶点为先, 箭头所指的顶点为后
有箭头的网络为有向网络
无箭头的网络为无向网络
如果把顶点看作事件, 把先看做原因, 把后看作结果, 那么, 这个有向网络就构成了一个因果关系图
如果把顶点看做生物的代, 把先看做亲代, 把后看做子代, 这个有向网络就构成了一个遗传图谱
如果在一个有向网络中, 每一个顶点都既为先又为后, 那么这个有向网络是首尾相连的, 称这样的网络为环
我们称一条"自身不相交, 首尾相接"的曲线为简单闭曲线, 比如圆, 正方形或者椭圆
平面上一个简单闭曲线把平面分成两个区域, 一个是内部, 一个是外部, 若当曲线定理
9.2 空间的图形变换
L(G) = V -E + F
9.3 拓扑变换
拓扑变换是图形到图形的对应, 比如A->B, 这种对应满足:
1. 一一对应: A中的每一个点恰好对应B中的一个点, 反之亦然
2. 连续对应: A中两个可以无限趋近的点对应B中两个具有同样性质的点, 反之亦然
第十讲 数学的抽象
10.1 争论的开始
柏拉图第一个强调了概念的一般性, 这标志着哲学的重大进步, 也为科学的数学的形成奠定了思想基础
科学必须保证,从同样的条件出发, 只要操作是规范的, 无论是谁, 无论在什么时候, 无论在什么地方, 得到的结论都是一样的
所谓共相, 就是一类事物所拥有的共同属性
数学从现实生活中抽象出的那些定义不是为了说明某种东西的存在, 而是为了研究这些定义了的东西之间的关系
10.2 争论的核心
真正意义上的科学产生在文艺复兴之后
柏拉图
亚里士多德
培根
笛卡尔
洛克
莱布尼茨
休谟
康德
罗素
10.3 数学的抽象
人的本质至少包含两个内容: 人的本能和人的能力
人不仅有求知的本能, 也有得到只是的能力
