数学思想概论 第1辑 数量与数量关系的抽象 (史宁中 著)
绪论 数学的抽象 (已看)
第一讲 数的表示 (已看)
第二讲 数的性质 (已看)
第三讲 数的运算与扩张 (已看)
第四讲 无理数的认识 (已看)
第五讲 数轴与直角坐标 (已看)
第六讲 微积分的产生 (已看)
第七讲 极限理论的建立 (已看)
第八讲 实数理论的建立 (已看)
第九讲 对应与集合大小的度量 (已看)
第十讲 复数的意义 (已看)
第十一讲 随机变量与数据分析 (已看)
第十二讲 统计学的发展 (已看)
绪论 数学的抽象
一, 抽象的含义与数学抽象的特点
所谓抽象的东西是指脱离了具体内容的形式和关系
真正的知识是来源于感性的经验, 通过直观和抽象而得到的, 并且, 这种抽象是不能独立于人的思维而存在的
二, 抽象的层次性
就抽象的深度而言, 大体上分为三个层次:
- 把握事物的本质, 把繁杂问题简单化, 条理化, 能够清晰地表达, 我们称其为简约阶段
- 去掉具体的内容, 利用概念, 图形, 符号, 关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物, 我们称其为符号阶段
- 通过假设和推理建立法则, 模式或者模型, 并能够在一般的意义上解释具体事物, 我们称其为普适阶段
第一讲 数的表示
数是对数量的抽象
一, 数量的本质
数量的本质应当是多与少
二, 十进制记数系统的抽象过程分析
从人类的发展历程来分析, 十进制记数系统的抽象过程, 经历了计数, 符号两个层次的抽象
第一步抽象: 计数
一粒米, 一条鱼, 其中的"一"并不是数字符号, 我们只能把这些理解为与数量有关的事件的记载
第二步抽象: 符号
符号的表达必须摆脱具体内容, 否则这种表达将不具有一般性, 在这种表达基础上的计算和推理也将不具有普适性
数字是那些能够由小到大进行排列的符号
第二讲 数的性质
一, 各种进位记数法及其分析
阴历以月亮的变化为基础, 阳历是依古罗马以太阳的变化为基础
黄道是指太阳围绕地球在空中运行的轨迹
干又称天干, 是指岁阳, 支又称地支, 是指太岁
二, 数的性质及其研究历程
素数: 只能被1或者自身整除的数
如果一个是数所含有因数之和正好等于这个数, 那么,这个数就是一个完满数
数论: 关于数的性质的研究的学科
第三讲 数的运算与扩张
一, 加法法则的抽象过程分析
加法是所有运算的基础
加法是如何被抽象出来的
1. 抓住本质
加法是"+1"的复合
2. 给出一般
经过几千年对于加法运算的使用, 人们最终希望能够给出严格的表述, 这就需要建立起在符号意义上的算律
二, 乘法,减法和除法法则的抽象过程分析
乘法是数自相加的缩写
减法是加法的逆运算
世界上有许多事物是需要回头看的, 这是一种思考问题的基本方法
人们最初使用的分数都是真分数, 是对于比例的刻画, 而不是近代意义上扩张了的有理数
减法,乘法和除法都是基于加法的, 称这四种最基本的运算为四则运算
三, 算术与代数
抽象到符号体系, 得到的结果往往就具有了一般性, 因而也具有了更加广泛的应用性
第四讲 无理数的认识
一, 无理数的发现历程回顾
1. 边长与对角线的不可公度
不可公度, 即不能表示为整数之间的比例关系.
2. 圆周率
3. 面积与无理数
4. 方程与无理数
人们称求方程整数解的问题为丢番图问题
二, 对无理数发现历程的反思
在数学发展的历史上,实数理论的确立却比微积分的出现还要晚, 甚至可以说, 是为了更合理地解释微积分才产生了实数理论
第五讲 数轴与直角坐标
一, 直观与数形结合的意义
建立直观是非常必要的, 就教育而言, 直观是一种判断能力, 是凭借专业直觉对事物作出直接判断的能力,包括从条件预测结果的能力, 也包括由结果探究成因的能力. 这种能力依赖于专业知识, 但更依赖于经验: 依赖于经验的积累, 依赖于经验的浓缩, 依赖于经验的升华, 这些都与我们正在讨论的核心思想"抽象"有关, 因为浓缩与升华的基础是抽象. 因此, 对于任何科学的教学,最终都应当把培养学生的学科直观作为重要的价值取向
对于给定的数a, 用|a|表示对应的点到0点的距离,称之为a的绝对值
无论区间长度多么小的区间内总是有有理数存在,于是我们说在数轴上有理数是稠密的
解析几何的核心是直角坐标系(也称笛卡尔坐标系)
用代数的方法来分析几何问题, 人们称这样的工作为代数几何
二, 平面直角坐标下的直线
y = ax + b
三, 距离与圆,椭圆,双曲线
∑被称为和号, 表达的简约有利于思考的深刻, 后来人们在整个基础上发明了积分的符号
距离是一个二元函数, 满足
- 自反性: d(A, B) = 0 当且仅当 A = B;
- 对称性: d(A, B) = d(B, A)
- 三角不等式: d(A, B) <= d(A, C) + d(C, B)
有了距离就可以讨论圆的表达式了, 圆的几何意义是: 到一定点的距离相等的点的轨迹
椭圆的几何定义, 到两个定点的距离之和相等的点的轨迹
双曲线的几何定义: 到两个定点的距离之差相等的点的轨迹
四, 证明的几何直观
五, 利用直角坐标系的几何直观进行现实数据分析
第六讲 微积分的产生
一, 微积分产生的背景
如果说, 人类对于数学的创造, 第一个最重要的工作是给出了数和数的运算法则的话, 那么, 第二个最重要的工作就是发明了微积分
文艺复兴是从重新认识古希腊文明开始的, 进而重新恢复了人的地位和尊严.
培根探求研究科学的方法, 他是近代归纳法的创始人
笛卡尔寻求建立真理的方法, 强调直觉和演绎
二, 微积分的思想分析
微积分的核心思想是极限运算
用静态的计算刻画了动态过程的瞬间, 就像高速摄影的定格一样
求导数 = 求瞬时速度 = f'(t0) = (f(t0 + Δt) - f(t0) )/ Δt
1673年, 莱布尼茨首次定义了函数(function), 表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量的纵坐标
切线是一条经过点A并且在点A附近与曲线仅有一个交点的直线
切线的斜率, dy/dx, 为函数 y 对 x 的导数
当导数 dy/dx = 2ax时, 对应的微分形式为 dy = (2ax)dx, 我们已知导数时, 微分是函数增量的一个近似表达, 当x得到一个增量dx时则y得到一个增量dy
积分最初的目的是计算被曲线围成的区域的面积
第七讲 极限理论的建立
一, 从无穷问题到极限的表示
惠利尔使用符号 lim 来表示极限
二, 极限的严谨理论形成历程中的两个困惑
第一个问题, 如何判断一个函数是否存在导数, 一个函数在某一点不存在导数被称为整个函数在这一点不可导
第二个问题, 如何判断一个无穷级数是否收敛, 一个函数或者无理数可以由一些简单函数或者有理数的和的形式表示, 当然整个和可以是无穷的, 我们称这样的和为级数或者无穷级数
微积分只是一种计算方法, 而要把理论基础研究清楚, 必须建立一个从头到尾相对成系统的学科, 他们给整个学科起了一个非常了不起的名字: 数学分析
把数学建立在明确的定义和数学符号的基础上
三, 严谨的极限理论的抽象过程
严谨的极限理论是对建立在直观基础上的微积分的进一步抽象
1. 数学分析研究的对象是函数
柯西: 依次取许多互不相同的数值的量叫做变量
函数概念的建立,使得数学由常量走向变量, 由有限走向无限, 由离散走向连续
无限和连续是非常抽象的概念, 是从古至今争论不休的概念,因此要把数学建立在这样的概念之上, 只有通过符号化即形式化, 否则是说不清楚的, 这些都与极限有关
2. 数学分析研究的基础是极限
极限是沟通有限和无限的桥梁
通过定义和符号的表达, 已经完全摆脱了对于物理或者几何直观的依赖, 有了这些基本表达, 就可以摆脱牛顿和莱布尼茨依赖数学出现的"解释不清"的尴尬局面了
3. 无穷小量
无穷小量是一个变量, 如果变量a依次取值为an, 并且数列{an}是一个以0为极限的收敛数列, 则称a是一个无穷小量
cn = bn / an, 如果{cn}还是一个以0为极限的收敛数列, 那么,就称β为a 的高阶无穷小
4. 连续函数
借助极限的语言来定义连续函数
称一个函数f(x)在点x0处是连续的, 如果对于任意ε>0, 都存在δ>0, 使得所有满足|x - x0| < δ的x均有 |f(x) - f(x0)| < ε, 表示为limf(x) = f(x0), 称一个函数在区间[a, b]上是连续的, 如果整个函数在这个区间上的每一点都是连续的
5. 导数与微积分
6. 无穷级数
一个级数被称为调和级数, 如果级数中任何一项的倒数都能表示为相邻两项倒数的平均, 即 1/an = 1/(1/an-1 + 1/an+1)
第八讲 实数理论的建立
一, 有理数的新定义
有理数是有限小数或者无限循环小数
无理数是无限非循环小数
有理数和无理数统称为实数
依赖验证的方法来证明无穷的情况是不合适的, 并且得不到一般性的结果
二, 基本序列方法
三, 戴德金分割方法
第九讲 对应与集合大小的度量
一, 集合之间对应关系的历史考察
英语计算一词为calculate, 其词干来源于拉丁语 calculus, 这是一个阳性名词, 愿意是"小石头", 这意味着,古代的欧洲人是利用石头来进行计算,来表示数量的多少的
如果两个集合的元素能够一一对应, 那么, 这两个集合的元素一样多
二, 自然数与有理数一样多
集合论已经成为现代数学的基础
康托定义的"一一对应的关系"
如果在集合A和集合B之间存在一种关系,使得对于A中的任意元素a, 存在B中的唯一元素b与之对应; 对于B中的任意元素b, 存在A中的唯一元素a与之对应, 则称A与B之间存在一一对应关系, 并称A与B对等, 记为A~B
在对等的基础上, 康托给出了比较集合大小的定义:
如果集合A能与集合B的一部分对等, 但集合B不能与A或者A的一部分对等, 那么, 集合B就大于集合A
康托称一个集合的大小为这个集合的基数
三, 连续统假设与反证法
反证法的理论基础是排中律
连续统假设: 在N的基数与R的基数中不存在中间基数
第十讲 复数的意义
一, 复数产生历史概述
如果说自然数是来源于对数量的刻画, 有理数是来源于对比例的刻画, 无理数是来源于对长度的刻画, 那么,复数就完全是认为制造的
虚数的名称是笛卡尔给的
欧拉是第一个使用符号 i = √ -1
二, 复数的运算
(a + bi) +- (c + di) = (a +- b) + (c +- d)i;
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
两个复数的乘积为0,当且仅当其中一个复数为0,
特别的称 a - bi 为 a + bi 的共轭, 两个共轭附属的乘积为实数
(a + bi)(a - bi) = a2 + b2
三, 代数基本定理
四, 数学归纳法
五, 复数的几何法
当给出了复数的几何解释之后, 人们才真正地感觉到了复数的存在, 才逐渐接受了复数. 把直角坐标系的横轴定义为实轴,纵坐标定义为虚轴,称这样的坐标系为复平面
"模"这个词是瑞士数学家阿尔冈明明的
六, 四元数
如果说复数产生是为了更好地刻画方程的解, 那么四元数的产生则完全是人为的,所谓四元数是一种具有四个分量的复数的类似物, 一般形式为
p = a + bi + cj + dk
其中 a, b, c和d为实数, i, j 和 k类似虚数, 满足
i j k
i -1 k -j
j -k -1 i
k j -i -1
p的共轭为 a - bi - cj - dk
四元数的模为 a2 + b2 + c2 + d2
第十一讲 随机变量与数据分析
一, 随机事件及古代的处理方式
在近代科学特别是社会科学中, 处理复杂问题最有效的方法就是分类
二, 随机变量与概率
我们称事先无法确定具体取值的变量y为随机变量, 称一个随机事件发生的可能性的大小为概率, 用P表示这个概率
概率的古典定义
P{y=k} = 使得事件{y=k}发生的可能数 / 所有可能数
把我们感兴趣的, 形式最为简单的事件称为基本事件, 用ωi表示
令Ω= {ω1,...,ωn}表示由所有基本事件构成的集合, 称其为样本空间
概率的公理化定义
概率P是定义在样本空间Ω上的一个测度, 这是一种对集合大小的度量,满足:
1. 非负性, 对于Ω的任何子集A,有P(A)>=0;
2. 完全性, P(Ω) = 1;
3. 可加性: 如果A和B互斥, 则P(A U B) = P(A) + P(B)
三, 数据分析
四, 统计学与数学的区别
1. 立论基础不同
数学是建立在概念和符号的基础上的， 统计学是建立在数据的基础上
2. 推理方法不同
数学的推理过程在本质上是演绎法， 统计学的推理过程在本质上是归纳法
3. 判断原则不同
数学对结果的判断标准是"对错", 统计学对姐u共的判断标准是"好坏"
第十二讲 统计学的发展
一, 统计学的历史回顾
人们对于数据的理解是逐渐加深的
作为一个研究领域,统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术, 其目的是为了对一些不确定的事物进行较准确的推断
二, 整理数据的常见方法
1. 集中趋势
平均数
中位数 把数据由小到大排队后最中间的那个数
众数 数据中出现频率最多的那个数
2. 离中趋势
我们称数据之间的差异为离中趋势
极差 数据中最大值于最小值的差
方差 数据与平均数差的平方和
3. 图形表示
直方图
描述数据分析
推断数据分析
4. 数据的随机性
统计学的目的是要通过数据来推测产生这些数据的背景, 称这个背景为总体
数据大体可以分为两类: 调查数据, 实验数据
统计学研究的基础是样本, 是通过构建统计量(样本的函数(平均数, 中位数, 众数, 方差等)称为统计量)来进行研究的
三, 统计学的思想和方法
