CF280C Game on Tree 期望

期望多少次操作，我们可以看做是染黑了多少节点

那么，我们可以用期望的线性性质，求出每个节点被染黑的概率之和（权值为$1$）

一个节点$u$被染黑仅跟祖先有关

我们把$u$到祖先的链抽出来

只要选取链上任意一点，那么我们对节点$u$的染黑的概率就讨论完了

发现链以外的点对这条链的影响都是相同的

也就是说，选取这条链上的一个点的概率都是相同的

因此，选取点$u$的概率就是这条链的节点数的倒数，也就是$\frac{1}{dep_u}$

最后的结果就是对每个点进行求和

$\sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \frac{1}{dep_i}$

复杂度$O(n)$

 

这道题对期望的应用还是挺妙的，并且可扩展性十分的强，挺适合拿来改题的

#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
namespace remoon {
    #define de double
    #define ri register int
    #define tpr template <typename ra>
    #define rep(iu, st, ed) for(ri iu = st; iu <= ed; iu ++)
    #define drep(iu, ed, st) for(ri iu = ed; iu >= st; iu --)    
    #define gc getchar
    inline int read() {
        int p = 0, w = 1; char c = gc();
        while(c > '9' || c < '0') { if(c == '-') w = -1; c = gc(); }
        while(c >= '0' && c <= '9') p = p * 10 + c - '0', c = gc();
        return p * w;
    }
}
using namespace std;
using namespace remoon;

#define sid 300050

int n, cnp;
int cap[sid], nxt[sid], node[sid], dep[sid];
de ans;

inline void addedge(int u, int v) {
    nxt[++ cnp] = cap[u]; cap[u] = cnp; node[cnp] = v;
}

#define cur node[i]
inline void dfs(int o, int fa) {
    dep[o] = dep[fa] + 1;
    ans += 1 / (de)dep[o];
    for(int i = cap[o]; i; i = nxt[i])
    if(cur != fa) dfs(cur, o);
}

int main() {
    n = read();
    rep(i, 2, n) {
        int u = read(), v = read();
        addedge(u, v); addedge(v, u);
    }
    dfs(1, 0);
    printf("%lf\n", ans);
    return 0;
}