单调栈的应用 --- 笛卡尔树与虚树
笛卡尔树
何为笛卡尔树？
对于一组关系\(fa, ls, rs\)
满足\(pri[fa] \geqslant max(pri[ls], pri[rs])\)
以及\(val[rs] \geqslant val[fa] \geqslant val[ls]\)
如何构建笛卡尔树？
按照\(val\)顺序顺序插入\(n\)个点
那么，新插入的点一定会插入到最右边(最大)
那么，我们维护最右链
同时，注意到最右链中\(pri\)单调
因此可以维护一个单调栈，来即时地找到插入位置
void Tree() {
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
pri[i] = rand();
while(top && pri[s[top]] > pri[i])
ls[i] = s[top], top --;
fa[i] = s[top]; fa[ls[i]] = i;
if(fa[i]) rs[fa[i]] = i;
s[++ top] = i;
}
}
建树的方法2
每次选取区间最大值作为根，然后往两边递归也可以建树
直接暴力是\(O(n^2)\)的
线段树优化一下就可以\(O(n \log n)\)了
一些常见的题目：
虚树
在一棵树中，把给定点及相关的\(lca\)求出来后按照原树的构造连接成的树
定理一：
树中\(k\)个节点之间两两之间不同的\(lca\)至多有\(k - 1\)个
证明：使用欧拉序
考虑\(dfs\)序最大的一条链
按照\(dfs\)序排序后，我们尝试依次加入点\(a\)
那么，点\(a\)要么新开一条链，要么对\(dfs\)序最大的链产生影响
只要用一个单调栈来维护当前链即可
同时，为了方便，约定退栈连边
具体而言，有以下几种情况
我们假设\(v\)是栈顶元素，\(w\)是栈中排第二的元素
\(root\)是\(k\)个点中\(dfs\)序最小的点（即虚树根），\(lca\)是\(v\)和\(a\)的最近公共祖先
假设原链的形式类似于此
第一种情况：
这种情况下，\(v\)退栈，\((v, lca)\)需要被连接，\(lca, a\)依次进栈
第二种情况：
\(a\)直接进栈即可
第三种情况：
\(v\)退栈，\((v, w)\)连接，\(a\)进栈
第四种情况：
\(v\)退栈，\((v, w)\)连接之后情况没有什么变化
\(w\)成为新的\(v\)，继续操作直到变为情况1, 3
因此，总结一下步骤
- 先插入虚树根
- 依次插入后\(i\)个点
- 求出\(a\)与\(v\)的\(lca\)
- 如果\(lca = v\)，跳到第7步
- 如果\(dfn[w] >= dfn[lca]\)，\(v\)退栈，\((v, w)\)连接，重复此步骤
- 如果\(dfn[w] < dfn[lca]\), \(v\)退栈，\((v, lca)\)连接，\(lca\)入栈
否则\(v\)退栈，\((v, w)\)连接- \(a\)入栈
- 重复第\(2\)至第\(7\)步
- 最后处理栈中剩下的最后一条链
给个本人的实现吧....
inline bool cmp(int a, int b) { return dfn[a] < dfn[b]; }
//dfn数组为dfs序，dep数组为节点深度
//h数组存储所有的关键点，总共有K个
//st为栈
void Vitural_Tree {
sort(h + 1, h + K + 1, cmp);
st[top = 1] = 1;
for(ri i = 1; i <= K; i ++) {
int rem = lca(st[top], h[i]);
if(rem == st[top]) { st[++ top] = h[i]; continue; }
while(top > 1 && dep[st[top - 1]] >= dep[rem])
{ link(st[top - 1], st[top]); top --; }
if(dep[st[top]] > dep[rem]) link(rem, st[top]), top --;
if(rem != st[top]) st[++ top] = rem;
if(h[i] != st[top]) st[++ top] = h[i];
}
while(top > 1) link(st[top - 1], st[top]), top --;
}
虚树题目的显著特征：\(\sum k \leq 3 * 10^5\)（当然有的时候并不是）
PKUWC2019 你和虚树的故事（不知道什么时候公开呢....）
有关虚树的扩展
虚树套数据结构：
动态维护虚树信息：
真.动态虚树：（也可能是个假的
