矩阵树定理的一些扩展

下文中默认无自环

大部分言论来源于$wiki$百科

 

矩阵树定理

 

$Kirchhoff's\;theorem$

 

定义这么一个$Kirchhoff$矩阵

其满足$$v_{ij} = - e(i, j)$$

$$v_{ii} = \sum\limits_{j =1}^n e(i, j)$$

它的$n - 1$阶主子式的行列式的绝对值就是不同的生成树的个数

 

$e$代表的意思为

若$e(u, v) = 1$，那么$u, v$相连，否则不相连

注意忽略重边

 

变元矩阵树定理

 

$Explicit\;enumeration\;of\;spanning\;trees$

 

可以通过改变$Kirchhoff$矩阵定理来加强矩阵树定理（实际上就是允许重边）

其满足$$v_{ij} = -e(i, j)$$

$$v_{ii} = \sum\limits_{j = 1}^n e(i, j)$$

它的$n - 1$阶主子式的行列式的绝对值就是不同的生成树的个数

 

$e$代表的意思为

若$e(u, v) = c$，那么$u, v$间有$c$条边相连

若$e(u, v) = 0$，那么$u, v$不相连

 

不仅如此

如果让$e$的意思为

若$e(u, v) = c$，那么$u, v$间有权值为$c$的边

若$e(u, v) = 0$，那么$u, v$不相连

那么，我们求出的东西实际上是

$\sum\limits_{Tree} \prod_{E \in Tree} E(u, v)$

 

有向图的矩阵树定理

 

$Kirchhoff's\;theorem\;for\;directed\;multigraphs$

 

可以修改矩阵树定理来计算有向图中树形图的个数

如果需要计算外向树的数量

那么有

$$v_{ij} = -e(i, j)$$

$$v_{ii} = \sum\limits_{j = 1}^n e(i, j)$$

如果需要计算内向树的数量

那么有

$$v_{ij} = -e(i, j)$$

$$v_{ii} = \sum\limits_{j = 1}^n e(j, i)$$

其中，去掉第$i$行和第$i$列形成的$n - 1$阶主子式的行列式的值为以$i$为根的树形图的数量

 

$e$的意义为

$e(u, v) = c$，那么存在一条从$u$到$v$的权值为$c$的边

$e(u, v) = 0$，不存在$u$到$v$的边

实际上可以求解以某个点为根的所有生成树形图的边权积的和