[NOI2007]货币兑换 --- DP + 斜率优化（CDQ分治）
[NOI2007]货币兑换
题目描述：
小 Y 最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A 纪念券（以下简称 A 券）和 B 纪念券（以下简称 B 券）。
每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。
每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。
我们记录第 K 天中 A 券和 B 券的价值分别为 \(A_{k}\)和 \(B_{k}\) （元/单位金券）。
为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。
比例交易法分为两个方面：
a) 卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将 OP%的 A 券和 OP%的 B 券以当时的价值兑换为人民币；
b) 买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为IP 的金券，
并且，满足提供给顾客的 A 券和 B 券的比例在第 K 天恰好为 \(Rate_{k}\) ；
例如，假定接下来 3 天内的 \(A_{k}\) 、 \(B_{k}\) 、 \(Rate_{k}\) 的变化分别为：
时间 \(A_{k} \;\;B_{k}\;\;Rate_{k}\)
第一天 1 1 1
第二天 1 2 2
第三天 2 2 3
假定在第一天时，用户手中有 100 元人民币但是没有任何金券。
用户可以执行以下的操作：
时间 用户操作 人民币(元) A 券的数量 B 券的数量
开户 无 100 0 0
第一天 买入100元 0 50 50
第二天 卖出50% 75 25 25
第二天 买入60元 15 55 40
第三天 卖出100% 205 0 0
注意到，同一天内可以进行多次操作。
小 Y 是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经知道了未来 N 天内的 A 券和 B 券的价值以及 Rate。
他还希望能够计算出来，如果开始时拥有 S 元钱，那么 N 天后最多能够获得多少元钱。
输入格式：
第一行两个正整数 N、S，分别表示小 Y 能预知的天数以及初始时拥有的钱数。
接下来 N 行，第 K 行三个实数 \(A_{k}\;\;B_{k}\;\;Rate_{k}\)，意义如题目中所述。
输出格式：
只有一个实数 MaxProfit，表示第 N 天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留 3 位小数。
本题没有部分分，你的程序的输出只有和标准答案相差不超过 \(10^{-3}\) 时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。
测试数据设计使得精度误差不会超过 \(10^{-7}\)。（丧心病狂）
对于 40%的测试数据，满足 N ≤ 10；
对于 60%的测试数据，满足 N ≤ 1 000；
对于 100%的测试数据，满足 N ≤ 100 000；
对于 100%的测试数据，满足：
0 < \(A_{k}\) ≤ 10；
0 < \(B_{k}\) ≤ 10；
0 < \(Rate_{k}\) ≤ 100
MaxProfit ≤ \(10^{9}\) ；
输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。
首先，题面中的“比例交易法”非常的烦人，能不能将其转化掉呢？
发现是可以的。
贪心可知：能买就全部买，能卖就全部卖
手上要么全是钱，要么全是券。
有了这个结论，就可以统一用一样的钱来表示每天的状态。
那么，\(dp(i)\)表示到第\(i\)天为止能获得的最多钱数。
转移呢？
如果这一天什么都不做，那么\(dp(i)=dp(i-1)\)
如果这一天选择卖股票，那么它一定要在某天买股票，因此，枚举买股票的那天来转移
设\(fa(i), fb(i)\)表示第\(i\)天用钱能换到的\(A,B\)券数量。
设\(a(i),b(i)\)表示第\(i\)天\(A,B\)券的价格
那么有：\(dp(i)=max(fa(j)*a(i)+fb(j)*b(i))(1<=j<=i-1)\)
\(fa(j),fb(j)\)怎么表达？
\(numa*a(j):numb*b(j)=1:rate(j)\)
\(numa=\frac{rate(j)}{a(j)*rate(j)+b(j)}\)
\(numb=\frac{1}{a(j)*rate(j)+b(j)}\)
\(fa(j)=numa*dp(j)\)
\(fb(j)=numb*dp(j)\)
这是一个十分不错的\(O(n^{2})\)算法，有60分已经非常的不错了。
能不能更近一步？
\(\frac{dp(i)}{b(i)}=min(\frac{fa(j)*a(i)}{b(i)}+fb(j))(1<=j<=i-1)\)
这是一个十分像斜率优化的式子。
其中，\(k\)为\(\frac{-a(i)}{b(i)}\)，没有单调性
其中，\(x\)为\(fa(j)\)，没有单调性
也就是说，插入的点可能在凸包内，查询要二分。
很自然的，可以想到用平衡树来解决这个问题。
但，既然CDQ为了代替平衡树而提出了CDQ分治，自然应该选择CDQ分治了。
CDQ分治是如何做的呢？
设\((x(i),y(i))\)表示斜率优化的点的坐标
那么，在\(Solve(l,r)\)中，首先把左区间的点和右区间的点分离出来（注意不要破坏本来的序）。
由于右区间的点会对左区间造成贡献，而左区间不会，因此考虑让左区间形成凸包，右区间在上面查询。
既然是分治，复杂度做到\(O(n)\)自然是好的。
因此，让左区间维护水平序，就可以在\(O(n)\)的时间内建出凸包
而如果右区间能做到斜率单调，那么就可以用单调队列做到\(O(n)\)查询
因此，右区间需要按斜率排序
？？？一段区间内维护两种序，这是可能的吗？
可能的，不难注意到是左区间在不断地增加，而右区间在不断减少。
因此，完全可以在外部给斜率排好序，在内部慢慢的归并来维护水平序。
操作顺序：
1.把原本处于\((l,mid),(mid+1,r)\)区间的数有序的提取出来
2.\(Solve(l,mid)\)保证左区间满足水平序
3.\(O(n)\)建出凸包
4.\(O(n)\)查询，更新右区间的点
5.\(Solve(mid + 1, r)\)递归更新右区间，同时让右区间拥有水平序
6.\(O(n)\)合并左区间和右区间，让整个区间拥有水平序
7.\(return\)
无论什么操作，CDQ分治的复杂度都是\(O(n)\)
根据主定理，复杂度\(O(n \log n)\)
补充：
注意分治内各个操作的顺序
注意精度
注意斜率坑人
注意常数（虽然感觉是个人都能过的常数限制）
