[BJOI2017]魔法咒语 --- AC自动机 + 矩阵优化
bzoj 4860 LOJ2180 洛谷P3175
[BJOI2017]魔法咒语
题目描述:
Chandra 是一个魔法天才。
从一岁时接受火之教会洗礼之后,Chandra 就显示出对火元素无与伦比的亲和力,轻而易举地学会种种晦涩难解的法术。
这也多亏 Chandra 有着常人难以企及的语言天赋,让她能轻松流利地说出咒语中那些极其拗口的魔法词汇。
直到十四岁,开始学习威力强大的禁咒法术时,Chandra 才遇到了障碍。
根据火之魔法规则,禁咒的构成单位是 N 个基本词汇。
施法时只要凝聚精神力,说出一段用这些词语组成的长度恰好等于 L 的语言,就能释放威力超乎想象的火法术。
过去的魔法师们总结了几种表达起来最连贯的组合方式,方便施法者以最快语速完成法术。
但具有魔法和语言双重天才的 Chandra 不满足于这几种流传下来的禁咒,因为她可以毫无困难地说出普通人几乎不可能表达的禁咒语句。
然而,在实际施法时,Chandra 发现有些自创禁咒念出后不但没有预期效果,反而会使自己的精神力迅速枯竭,十分难受。
这个问题令 Chandra 万分不解。
她大量阅读典籍,到处走访魔法学者,并且不顾精神折磨一次又一次尝试新咒语,希望找出问题的答案。
很多年过去了,在一次远古遗迹探险中,Chandra 意外闯进了火之神艾利克斯的不知名神殿。
根据岩土特征分析,神殿应该有上万年的历史,这是极其罕见的。Chandra 小心
翼翼地四处探索,沿着魔力流动来到一间密室。她看见密室中央悬浮着一本书籍。
在魔法保护下书籍状况完好。精通上古语言的 Chandra 读过此书,终于解开了多年的困惑。
禁咒法术之所以威力强大,是因为咒语借用了火之神艾利克斯的神力。
这本书里记载了艾利克斯生平忌讳的 M 个词语,比如情敌的名字、讨厌的植物等等。
使用禁咒法术时,如果语言中含有任何忌讳词语,就会触怒神力而失效,施法者也一并遭受惩罚。
例如,若 ”banana” 是唯一的忌讳词语,“an”、”ban”、”analysis” 是基本词汇,
禁咒长度须是 11,则“bananalysis” 是无效法术,”analysisban”、”anbanbanban”是两个有效法术。
注意:一个基本词汇在禁咒法术中可以出现零次、一次或多次;
只要组成方式不同就认为是不同的禁咒法术,即使书写形式相同。
谜题破解,Chandra 心情大好。
她决定计算一共有多少种有效的禁咒法术。
由于答案可能很大,你只需要输出答案模 1,000,000,007 的结果。
输入格式:
第一行,三个正整数 N, M, L。
接下来 N 行,每行一个只含小写英文字母的字符串,表示一个基本词汇。
接下来 M 行,每行一个只含小写英文字母的字符串,表示一个忌讳词语。
输出格式
仅一行,一个整数,表示答案(模 \(10^{9}+7\))。
数据范围:
对于 100%的数据,1 ≤ N, M ≤ 50,1 ≤ L ≤ \(10^{8}\),基本词汇的长度之和不超过100,忌讳词语的长度之和不超过 100。
保证基本词汇不重复,忌讳词语不重复。
AC自动机题感觉都是套路(3min秒掉好开心)
统计单词是不是?
先来个dp状态:\(dp(i,j)\)表示构造到第i位,再AC自动机上状态为j的方案数
AC自动机哪里来?
禁忌单词是不是?不能碰到是不是?AC自动机肯定就是你了。
限定单词?
好像不好处理,但是也没有什么。
原本常用dp:
\(dp(i,j)= \sum_{trans(v,c) = j} dp(i - 1,v)\)
稍微改一下:
\(dp(i,j) = \sum_{trans(v,words)} dp(i - len(words),v) \)
words就是题面中给出的构成单词。
好像解决了???
并没有,对于60%的数据点,dp是可以解决的。
但是对于后面的点,L过大, 但是\(len(words)\)并不大,可以考虑矩阵优化
最后20分的点怎么办???
把状态抽象出来:
\(dp(i,...)= \sum dp(i-1,...) + \sum(dp(i-2,...) )\)
还是个线性递推式,依然可以用矩阵转移。
最终前60%数据的复杂度:O(\(L* n * \sum len(words) \))
后40%数据的复杂度:O(\( \sum (2 * len(words))) ^ {3} * \log L\))
补充:
可以通过预处理来加速一部分。
本题需要一定的常数。