最大匹配

\(Tutte-Berge\;Formula\)

定义\(q(G)\)表示图\(G\)有多少个奇联通分量

定义\(C(G)\)为图\(G\)中的联通分量的集合

那么，一个图\(G\)的最大匹配的大小为\(\frac{1}{2}\min_{S \subseteq V(G)}(|S|+|G|-q(G-S))\)

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考虑\(S\)为任意一个集合，\(M\)为任意一个匹配

在\(M\)中，设满足与\(S\)中点关联的边数为\(k_1\)，其余边数记为\(k_2\)

显然有，\(k_1 \leqslant |S|\)，考虑\(k_2\)，也即两个边的端点都在\(G-S\)中的边

由于每个奇联通分量中至少有一个节点不在\(M\)中，因此\(k_2 \leqslant \frac{1}{2}(|G|-|S|-|q(G-S)|)\)

那么，\(|M| = k_1 + k_2 \leqslant \frac{1}{2}(|S|+|G|-q(G-S))\)

如果存在一个集合\(S\)，存在一个匹配\(M\)取到等号，那么公式的正确性就不言而喻了

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• \(Hall\)定理

二分图\(G\)存在匹配，当且仅当\(\forall S \subseteq V(G)\)，\(|N(S)| \geqslant |S|\)

• \(Tutte\)定理

一般图\(G\)存在匹配，当且仅当\(\forall S \subseteq V(G)\)，\(q(S) \leqslant |S|\)

我们不加证明的给出上述两个定理，利用以上定理，我们可以证明

• 对任意图\(G\)，存在顶点集\(S\)满足
  • 将\(S\)中的边删除，将\(q(G-S)\)中所有的分量收缩后，得到的二分图存在一个饱和\(S\)的匹配
  • \(G-S\)中的每个联通分量都是奇联通分量，并且去掉任意一个顶点后，对应的联通分量存在完美匹配

取满足上述条件的\(S\)，我们可以构造一个取得等号的匹配\(M\)

取第一个条件中，饱和\(S\)的匹配，之后对每个联通分量，在满足第一个条件的情况下，选取一个顶点，剩下的点构成匹配，这样构造出的\(M\)恰好取得等号