近世代数科普

群论二

1. 同态与同构

• 群的同态：设\(f : G \to G'\)，如果其满足\(\forall a, b \in G, f(a)f(b) = f(ab)\)，则称\(f\)是一个同态

  • 当\(f\)是一个满射时，称为满同态
  • 当\(f\)是一个单射时，称为单同态
  • 当\(f\)是一个双射时，称为同构，称为\(G \cong G'\)

• 常记\(f(G) = \{f(x) :x\in G \}\)，\(f^{-1}(x) = \{a:f(a) = x\}\)，\(f^{-1}(S) = \{a:f(a)\in S\}\)

• 常用结论

  • 设\(f : G \to G'\)为一个同态，则\(f(e) = e'\)，\(f(a)^{-1} = f(a^{-1})\)

  • 设\(f : G \to G'\)为一个同态，则\(f(G) \leqslant G'\)

    Prof：对\(a', b'\in f(G)\)，\(\exists a,b \in G, f(a) = a', f(b)=b'\)，则\(a'b'^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(ab^{-1}) \in f(G)\)

2. 正规子群

• Def：设\(H \leqslant G\)，若\(\forall a \in G, aH = Ha\)，则称\(H\)为一个正规子群，记做\(H \lhd G\)

• 正规子群的等价结论：

  • 设\(H \leqslant G\)，\(\forall a \in G, aHa^{-1} = H\)

  • 设\(H \leqslant G\)，\(\forall a \in G, aHa^{-1} \subseteq H\)

    Prof：取\(a\)和\(a^{-1}\)，\(aHa^{-1} \subseteq H\)，\(a^{-1}Ha \subseteq H\)

• 设\(H \lhd G\)，\(K\leqslant G\)，则\(H \cap K \lhd K\)

  Prof：\(\forall x \in H \cap K, \forall g\in K, g^{-1}xg \in H \cap K\)（\(H\)是由正规子群，\(K\)由群的封闭性）

3. 核

• Def：设\(f: G \to G'\)是一个同态，则\(f^{-1}(e)\)称为\(f\)的核，记做\(\ker(f)\)

• 核一定是正规子群：

  • 子群：\(\forall a, b \in \ker(f), f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) = e \in \ker(f)\)
  • 正规子群：\(\forall g \in G, h \in \ker(f)\)，\(f(ghg^{-1}) = f(g)ef(g^{-1}) = e \in \ker(f)\)，从而\(g\ker(f)g^{-1} \subseteq \ker(f)\)，从而\(\ker(f)\)是正规子群

• \(f^{-1}(a) = a\ker(f)\)

4. 商群

• 定义一种集合运算，\(AB = \{ab|a\in A, b\in B\}\)

• Def：设\(H \leqslant G\)，\(G/H\)为\(H\)的陪集的集合，若\(H \lhd G\)，\(G/H\)在上述集合运算下构成群，称为商群，商群的单位元为\(H\)，元素\(aH\)的逆元为\(a^{-1}H\)

  Prof：\(\forall aH, bH \in G /H, aHb^{-1}H = ab^{-1}H \in G/H\)

5. 自然同态

• 设\(H\lhd G\)，则存在\(G\to G/H\)的同态\(\varphi(a)=aH\)，称为\(H\)的自然同态
  • 自然同态一定是满同态
• \(\varphi(H)=\varphi^{-1}(H)=H\)

6. 群同态基本定理

• 设\(f:G\to G'\)是一个满同态，则\(G/\ker(f) \cong G'\)

  Prof：记\(N = \ker(f)\)，构建映射\(\phi(aN) = f(a)\)

  先证为双射，如果\(f(a) = f(b)\)，则\(a \in bN\)，则\(aN = bN\)，故为单射

  \(\forall a'\in G', \exists a\in f^{-1}(a'), s.t. \phi(aN)=a'\)，故为满射

  再证同构，\(\phi(aN)\phi(bN) = f(a)f(b) = f(ab) = \phi(abN) = \phi(aNbN)\)

• 推论：设\(f:G\to G'\)是一个同态，则\(G/\ker(f) \cong f(G)\)

7. 群同态定理

• 设\(f:G\to G'\)是一个满同态，记\(N = \ker(f)\)

  • \(f\)建立\(G\)包含\(N\)的子群与\(G'\)的子群之间的一一对应

    Prof：设\(S_1 = \{ K:N\leqslant K\leqslant G\}\)，\(S_2 = \{K:K\leqslant G'\}\)

    (a) 首先证明映射合法，\(\forall H \in S_1, f:H\to G'\)是一个同态，因此\(f(H)\leqslant G'\)

    (b) 证明单射，先证\(\forall H\in S_1, f^{-1}(f(H))=H\)，知\(H\subset f^{-1}(f(H))\)，并且\(\forall x \in f^{-1}(f(H)), f(x) \in f(H)\)，因而\(\exists h\in H, f(x) = f(h)\)，故\(x \in hN \subset H\)，故\(f^{-1}(f(H))\subset H\)，因此\(f^{-1}(f(H)) = H\)，那么如果\(f(H_1) = f(H_2)\)就有\(H_1 = H_2\)

    (c) 证明满射，\(\forall H' \in S_2, f(f^{-1}(H')) = H'\)

  • \(f\)建立\(G\)包含\(N\)的正规子群与\(G'\)的正规子群之间的一一对应

    Prof：设\(S_a = \{K:N\leqslant K \lhd G\}, S_b = \{K:K\lhd G'\}\)

    (a) \(f:S_a \to S_b\)合法，因为\(\forall K \in S_a, \forall g\in G, gKg^{-1} = K\)，故\(f(K) = f(gKg^{-1}) = f(g)f(K)f(g)^{-1}\)，由\(f\)是满同构知\(f(K)\in S_b\)，又由\(f : S_1 \to S_2\)是双射知，\(f\)是一个单射

    (b) 反之，\(\forall K' \in S_b, \forall g \in G, f(g^{-1}f^{-1}(K')g) = f(g)^{-1}K'f(g) = K'\)，从而\(g^{-1}f^{-1}(K')g \subset f^{-1}(K')\)，从而\(f^{-1}(K')\in S_a\)，由\(f:S_1 \to S_2\)是双射知，\(f\)是一个满射

  • 上述两条主要是为了接下来的定理的描述

• 第一群同构定理：设\(f:G\to G'\)是一个满同态，设\(N = \ker(f)\)，设\(N \subset H \lhd G\)，则\(G/H\cong G'/f(H)\)

  Prof：设\(G'/f(H)\)的自然同态为\(\pi\)，那么我们考虑同态\(\varphi = \pi f(G\to G'/f(H))\)，由\(\pi, f\)为满同态，则\(\varphi\)为满同态

  我们考虑证明\(H = \ker(\varphi)\)，即\(\{x |\pi f(x) \in f(H)\}\)，显然\(H \subseteq \ker(\varphi)\)，而\(\forall x \in \ker(\varphi)\)，有\(\pi f(x) \in f(H)\)，即\(f(x) \in f(H)\)，即\(x \in f^{-1}(f(x)) \subseteq H\)，从而\(H = \ker(\varphi)\)，由群同态基本定理，我们得到\(G/H \cong G'/f(H)\)

• 第二群同构定理：设\(H \leqslant G, N \lhd G\)，则\(HN/N \cong H/H\cap N\)

  • 为了使定理有意义，先证\(HN\)是子群，首先\(HN=NH\)，\(\forall h_1, h_2 \in H, n_1, n_2\in N\)，\(n_1h_1(n_2h_2)^{-1} = n_1(h_1h_2^{-1})n_2 \in NHN =HN\)，故\(HN\)为子群

  Prof：设\(H/H \cap N\)的自然同态为\(\pi\)，\(\pi(a)=a(H\cap N)\)，构造\(f:HN \to H\)，\(\forall x\in aN, f(x)=a\)，则\(\phi = \pi f\)是一个满同态

  我们考虑证明\(N = \ker(\phi)\)，即\(\{x |\pi f(x) \in H\cap N\}\)，首先\(f(N) = e, \pi(e) = H \cap N\)，故\(N \subseteq \ker(\phi)\)

  而且\(\forall x \in \ker(\phi), f(x) \in \{e\}\)，故\(x\in N\)，故\(\ker(\phi) \subseteq N\)

• 第三群同构定理：设\(N \lhd G, N \leqslant H \lhd G\)，则\(G/H \cong (G/N)/(H/N)\)

  Prof：第一群同构定理，取\(G' = G/N\)的特例

群论三

1. 单群

• Def：如果\(G\)没有非平凡的正规子群（\(\{e\}\)和\(G\)），那么\(G\)称为单群

• \(G \neq \{e\}\)是交换单群，当且仅当\(G\)为素数阶的循环群

  Prof：对任意\(g \neq e\)，考虑\(\langle g \rangle\)

2. 生成子群

• 记最小包含\(S\)的子群为\(\langle S \rangle\)，即\(\langle S \rangle = \bigcap_{S\subset H\leqslant G} H\)
• \(\forall x \in S, x = x_1x_2...x_m(x_1, x_2, ..., x_m \in S\cup S^{-1})\)
• 当\(S\)有限时，\(\langle S \rangle\)称为有限生成群

3. 换位子群（导群）

• \(a^{-1}b^{-1}ab\)称为元素\(a, b\)的换位子（交换子），记做\([a,b]\)

• 所有的换位子生成的子群称为换位子群（导群），常记做\(G'\), \([G, G]\), \(G^{(1)}\)（以后变量要取别的名字了...）

  • 当\(ab=ba\)时，\([a, b] = a^{-1}b^{-1}ab = e\)

• \(G' \lhd G\)

  Prof：\(g[a, b]g^{-1} = (ga^{-1}g^{-1})(gb^{-1}g^{-1})(gag^{-1})(gbg^{-1}) = [gag^{-1}, gbg^{-1}]\)

  \(\forall x \in G', x = [a_1, b_1][a_2, b_2]...[a_m, b_m]\), 故\(gxg^{-1} = [ga_1g^{-1}, gb_1g^{-1}][ga_mg^{-1}, gb_mg^{-1}] \in G'\)

  故\(\forall g\in G, g^{-1}G'g \subseteq G'\)，故\(G' \lhd G\)

• \(G/G'\)是阿贝尔群

  Prof：\(aG'bG' = bG'aG' \Leftrightarrow aG'b = bG'a \Leftrightarrow G' = a^{-1}bG'ab^{-1} \Leftrightarrow G' = G' a^{-1}bab^{-1} \Leftrightarrow G'= G'[a, b^{-1}]\)

4. 可解群

• 定义\(G^{(n)} = (G^{(n - 1)})^{(1)}\)，注意到\(G \rhd G^{(1)} \rhd G^{(2)} \rhd ...\)

• Def：如果\(G^{(k)} = \{e\}\)，则称\(G\)为可解群

  • 利用换位子群的商群的性质，有这样的充要条件：群\(G\)是可解群当且仅当存在\(G \rhd G_1 \rhd G_2 .... \rhd G_k = \{e\}\)，且\(G_{i-1}/G_i(1\leq i\leq k)\)为阿贝尔群

    Prof：“\(\Rightarrow\)"：显然，\(G, G^{(1)}, G^{(2)}, ....\)，满足题意

    “\(\Leftarrow\)”：如果\(G/N\)是阿贝尔群，考虑\(\varphi:G\to G/N\)为自然同态，那么有\(\varphi([a, b]) = e\)，即\([a, b] \in N\)

    从而我们有\(G^{(1)} \leqslant N\)，在本题中，由于\(G/G_1\)是阿贝尔群，故\(G^{(1)} \leqslant G_1\)，归纳得到\(G^{(k)} \leqslant G_k\)，即\(G^{(k)} = \{e\}\)

5. 中心化子

• 定义\(C(G)=\{x:\forall a\in G, ax=xa\}\)，称为群\(G\)的中心
  • \(C(G) \lhd G\)
• 类似的，定义\(C_S(G) = \{x:\forall a\in S, ax = xa\}\)，称为\(S\)的中心化子
  • \(C_S(G) \leqslant G\)

6. 群对集合的作用

• 设\(f:G \times S \to S\)，且满足[1] \(f(e, x)=x\) [2] \(f(g_1g_2, x) = f(g_1, f(g_2, x))\)，称\(f\)决定了群\(G\)在\(S\)上的作用，\(f(g_1, x)\)常简写为\(g_1(x)\)

• 设\(G\)是一个群，\(X, X'\)是两个非空集合，\(G\)作用在\(X, X'\)上，如果存在双射\(\phi:X\to X'\)，使得\(\phi(g(x)) = g(\phi(x))\)，则称这两个作用等价

  • example：项链的旋转构成群，对长为\(n\)的全红项链和全蓝项链显然等价

• 设\(G\)作用在\(X\)上，定义关系\(R= \{(x, y) | \exists g\in G, g(x) = y\}\)，易证\(R\)是等价关系，在这个等价关系下，我们划分出的等价类称为轨道，和\(x\)等价的元素记做\(O_x = \{g(x)|g\in G\}\)

  • 给一条项链染色，在旋转操作下等价的元素

• 设\(G\)作用在\(X\)上，\(\forall x \in X\)，定义\(H_x =\{g\in G|g(x)=x\}\)为\(x\)的稳定子群（显然为子群）

• 如果\(|O_x| = 1\)，或者说\(\forall g\in G, g(x) = x\)，则称\(x\)为不动点

7. 齐性空间

• Def：设\(H \leqslant G\)，则\(H\)的所有左陪集构成的集合称为\(G\)的齐性空间

  • 一般的，默认\(g(aH) = gaH\)是\(G\)在\(G/H\)上的作用

• 设\(G\)作用在\(X\)上，则\(\forall x \in X\)，\(G\)在\(O_x\)上的作用和其在\(G/H_x\)上的作用等价

  Prof：定义映射\(f:G/H_x \to O_x, f(aH_x) = a(x)\)

  其为单射，因为\(b(x) = a(x) \Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x \Leftrightarrow bH_x=aH_x\)

  其显然为满射，因此此为一一映射，并且，\(f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x))\)

• 设\(G\)为有限群，\(G\)作用在\(X\)上，则\(|O_x| = |G/H_x|\)

  Prof：由上一个命题，\(f\)是一个一一映射，故这两个集合的基数相等

  • ex：求正方体的旋转群的大小

    我们考虑利用上式公式，不难得到\(|H_1| = 3\)，\(|O_1| = 8\)，从而\(|G| = 24\)

• 在\(G\)作用到\(G\)上，并且\(g(x) = gxg^{-1}\)时，此时\(H_x = C_G(X)\)，定义\(C(x)\)为和\(x\)共轭的元素的集合，则\(|C(x)| = |G :C_G(x)|\)

  根据等价类的定义，从每个共轭类中选择一个元素，得到\(|G| = \sum_x [G:C_G(x)]\)

  特别的，当\(x\in C(G)\)时，\([G:C_G(x)] = 1\)，因此我们选择从每个非平凡的共轭类中选择一个\(x\)元，则有\(|G| = |C(G)| + \sum_x |G:C_G(x)|\)

  这称为共轭类方程

• 设\(H\leqslant G\)，则\(H \cong xHx^{-1}(x\in G)\)

8. \(p-\)群

• Def：如果\(|G| = p^k(k\geq 1)\)，其中\(p\)为素数，则称\(G\)为\(p-\)群

• 设\(p-\)群\(G\)作用于集合\(X\)上，设\(|X|=n\)，设\(t\)为\(X\)中不动点的数目，则\(t \equiv n(mod\;p)\)

  Prof：设集合\(X\)的全部轨道为\(O_1, O_2, ..., O_k\)，则有\(\sum |O_i| = n\)，注意到\(|O_i| = p^m(m\geq 0)\)，当且仅当\(|O_i| = 1\)时，有\(|O_i|\;mod\;p =1\)，否则\(|O_i| \;mod\;p=0\)，因此\(t \equiv n(mod\;p)\)

• \(p-\)群一定有非\(\{e\}\)的中心

  Prof：考虑\(G\)到\(G\)上的共轭变换，任意\(G\)的中心中的元素一定是一个不动点，因此，我们有\(|C(G)|\equiv 0(mod\;p)\)，自然我们得到\(|C(G)|>1\)

9. Burnside 引理

• 设群\(G\)作用于集合\(S\)上，令\(t\)表示\(S\)在\(G\)作用下的轨道的条数，\(\forall g\in G\)，\(F(g)\)表示\(S\)在\(g\)作用下不动点的个数，则$$t = \frac{\sum_{g\in G} F(g)}{|G|}$$

  Prof：首先转化命题，我们运用双计数证明\(|G|*t = \sum_{g\in G}F(g)\)

  考虑右式，\(\sum_{g\in G}F(g) = \sum_{x\in S, g\in G} [gx = x] = \sum_{x\in S} \{g:g\in G, gx=x\} = \sum_{x\in S} |H_x|\)

  由于\(|H_x| = |G| / |O_x|\)，因此所求即\(|G|*\sum_{x \in S}\frac{1}{|O_x|}\)，即证\(\sum_{x\in S} \frac{1}{|O_x|} = t\)

  考虑一个轨道\(O_x\)，这个轨道产生的贡献为\(|O_x| * \frac{1}{|O_x|} = 1\)，如此，\(t\)为不同的轨道的条数，命题得证

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群论四

好像有些不太正常的要来了

1. 西罗第一定理

• 设\(G\)是一个阶为\(n\)的有限群，\(p\)为素数，如果\(p^k | n, k \geq 0\)，那么\(G\)中存在一个阶为\(p^k\)的子群

  Prof：引理：设\(n = p^r*m, (p, m) = 1\)，对\(k \leq r\)，有\(v_p(\binom{n}{p^k})=r-k\)（由\(Kummer\;TH\)显然）

  取\(G\)中所有含有\(p^k\)个元素的子集，构成集合\(X\)，令\(G\)作用在\(X\)上，定义\(g(A) = gA, A\in X\)

  那么有\(|X| = \sum |O_i|\)，由于\(p^{r-k+1} \nmid |X|\)，因此存在\(A\in X\)，使\(p^{r-k+1} \nmid |O_A|\)，下证\(|H_A|=p^k\)

  由\(|O_A| |H_A|= |G|\)知，\(v_p(H_A) \geq k\)，即\(|H_A| \geq p^k\)

  但\(\forall a\in A, H_Aa \subset A\)，故\(|H_A| \leqslant |A| = p^k\)，从而\(|H_A|=p^k\)

• 设\(v_p(|G|) = k\)，则阶为\(p^k\)的子群称为西罗\(p-\)子群

2. 西罗第二定理

• 设\(v_p(|G|) = r\)，\(P\)是\(G\)的一个西罗\(p-\)子群，\(\forall H \leqslant G, |H|=p^k, \exists g\in G, s.t. H \leqslant gPg^{-1}\)

  Prof：考虑\(X\)为\(P\)的左陪集的集合，将\(H\)作用于\(X\)，\(h(aP)=haP\)

  由于\((|X|, |H|) = 1\)，那么存在一个不动点，使得\(HgP = gP\)

  此时\(\forall h \in H ,\exists p_1, p_2\in P, hgp_1=gp_2\)，即\(h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}\)，因此\(H \leqslant gPg^{-1}\)

• 推论1：任意两个西罗\(p-\)子群互相共轭

• 推论的推论：一个群\(G\)有唯一的西罗\(p-\)子群\(P\)的充要条件为\(P \lhd G\)

3. 正规化子

• Def：对\(H \leqslant G\)，定义\(\{g:g\in G, gH=Hg\}\)为\(H\)的正规化子，记做\(N(H)\)

  • \(N(H) \leqslant G\)

  • \(H \lhd N(H)\)

  • \(C_G(H) \leqslant N(H)\)

• \(G\)中西罗\(p-\)子群的个数，以及对任一西罗\(p-\)子群\(P\)，\(N(P)\)的阶为\(|G|\)的因子

  Prof：设\(X\)为\(G\)中所有西罗\(p-\)子群的集合，在上面作共轭变换

  对任一西罗\(p-\)子群\(P\)，有\(O_P = X\)，\(H_P = N(P)\)，从而\(|X|*|N(P)|= |G|\)

4. 西罗第三定理

• 若\(G\)中所有西罗\(p-\)子群的个数为\(t\)，则\(t \equiv 1(mod\;p)\)

  证明从略

• 由西罗第三定理，设\(|G| = p^r * m, (p, m) = 1\)，结合\(t | |G|\)，我们有\(t | m\)