PE394 数学

给定一段长为\(1\)的区间,计算下列步骤的期望操作步数

  1. 随机在\([0,L]\)中生成两个数\(a, b\),其中\(L\)是区间的剩余长度
  2. \(L =L- \max\{a, b\}\),如果\(x < c\),那么退出步骤

对于参数\(c=x\),记\(F(x)\)为此问题的答案,试计算\(F(40^{-1})\),保留十位小数


简单的大学数学题...

\(E(x)\)为剩余区间长度为\(x\)时的答案,所求即\(E(1)\)

设随机变量\(Y = \max\{a,b\}\)

显然\(E(x) = \begin{cases} 1 + \int_0^x E(x-t)P(Y=t) \mathrm{d} t & (x \geqslant c)\\0 & (0\leqslant x<c)\end{cases}\)

考虑求\(P(Y=t)\),根据定义,我们有\(P(Y=t) \mathrm{d}t= \mathrm{d} P(Y \leq t)\)

\(P(Y \leq t) = (\frac{t}{x})^2\),故\(P(Y = t) = \frac{2t}{x^2}\)

那么原式等价于\(E(x) = \begin{cases} 1 + \int_0^x E(x-t)\frac{2t}{x^2} \mathrm{d} t & (x \geqslant c)\\0 & (0\leqslant x<c)\end{cases}\)

我们只考虑\(x \geq c\)的情况,也即\(E(x)=1 + \int_0^x E(x-t)\frac{2t}{x^2} \mathrm{d} t\)

稍作变换,\(E(x)=1 + \int_0^x E(t)\frac{2(x-t)}{x^2} \mathrm{d} t\)

继续,\(x^2E(x) = x^2 + \int_0^x E(x-t)2t \mathrm{d} t\)

两边对\(x\)求微分,得\(x^2 \mathrm{d}E(x) + 2xE(x) = 2x + 2\int_0^x E(t) \mathrm{d} t\)

我们记\(y=\int_0^x E(t) \mathrm{d} t\),那么考虑解微分方程\(x^2y'' + 2xy' = 2x + 2y\)

当然,首选是数值逼近

作变量替换\(x = e^t\),得\(D(D-1)y + 2Dy = 2e^t + 2y\)

\(D^2y+Dy-2y = 2e^t\),该方程的特解为\(y = \frac{2}{3}te^t\)

而特征方程\(r^2 + r - 2=0\)的两根为\(1\)\(-2\),故通解为\(y=c_1e^t + c_2e^{-2t}\)

整合,我们得到\(y = \frac{2}{3}te^t + c_1e^t + c_2e^{-2t}=\frac{2}{3}x \ln x + c_1x + \frac{c_2}{x^2}\)

对应的有\(E(x) = y' = \frac{2}{3} \ln x + c_1 + \frac{c_2}{x^3}\)

此时有两个未定的常数,条件仿佛只有\(E(c) = 1\)

但注意到,我们的运算过程保证\(E(x)\)是可微的,因此还需补上\(E'(c^{+})=0\)的条件

代入\(c = \frac{1}{40}\)即可

posted @ 2021-01-30 00:46  remoon  阅读(93)  评论(0编辑  收藏  举报