Nim游戏改

为什么nim游戏这么多改编版本啊! こら！

给定\(n\)堆石子，第\(i\)堆石子有\(A_i\)个，两个人轮流取，每次可以选择至多\(k\)堆石子，对于选择的每一堆石子，取走某一正整数值的石子，试问先手必胜的条件

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先说结论，当且仅当二进制下，在每一位上，都有在此位为\(1\)的个数是\(k + 1\)的倍数时，先手必输

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也可以等价地描述为：

定义\(a \oplus b\)为\(k+1\)进制不进位的加法

那么先手必败，当且仅当\(\bigoplus A_i = 0\)

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证明：

事实上，我们只要证明，除非已经处于必输状态，否则都存在一种取法，使先手将石堆取成必输状态

考虑满足该位为\(1\)的个数不是\(k + 1\)的倍数的最高位\(m\)，并且满足该位为\(1\)的数的个数(模\(k + 1\)后)为\(a\)

不难发现，对于在\(m\)位是\(1\)的石堆，其石子至少有\(2^m\)个

这也就意味着，我们对于这些石堆，可以选择任取\([1, 2^m]\)个

我们稍微考虑“减法”的影响，比如\(16_{10} = 10000_{2}\)，减去\(2\)后，变为\(14_{10} = 01110_{2}\)

这启示我们，当我们从一个数减去\(2^i\)时，第\(i\)位以下的数字不会被改变，因此我们从第\(0\)位一直考虑到第\(m - 1\)位

如果第\(0\)位有\(b\)(模\(k + 1\)后)个数，并且\(b < a\)，那么我们从上述石堆随意挑选\(b\)个石堆，让它们先减\(1\)，否则让所有石堆减\(2^0\)

在经过上述变化后，假设第\(1\)位有\(c\)(模\(k + 1\)后)个数，如果\(c < a\)，那么再随意挑选\(c\)个石堆，否则所有石堆减\(2^1\)

依次类推，直到第\(m\)位，这个时候，对于每个石堆，如果第\(m\)位仍为\(1\)，那么这个石堆减\(2^m\)，否则不作为

这么一番操作之后，我们不难发现，所有位上的\(1\)的个数的最大值不会超过\(k - a\)个，并且我们还能选择\(k - a\)个数去修改它

这个时候再去考虑操作之后的最高位，进行同样的操作，如此下去，可以断言，我们可以将状态取成必输态

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注意到上文对于\(nim\)游戏的本质没有什么触动

所以套用到一切\(sg\)函数的题上都可以

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所以最终结论是：博弈论的题，先打表，再去想证明