hdu 3032 NIm or not Nim? Multi SG

题目大意：

可以选择在一堆石子中拿一些石子

或者把一堆石子划分成两个非空的石子堆

问先手必胜？

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模板题

一个规律是\(n = 4m + k\)时

\(sg(n) = n - 1(k = 0)\)

\(sg(n) = n(k = 1, k = 2)\)

\(sg(n) = n + 1(k = 3)\)

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考虑证明：

对于\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)，都是成立的

考虑对于\(4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3\)四个归纳

首先，这四个数可以取\(1 \sim 4n - 1\)中所有数的\(sg\)值

也就是除了\(1 \sim 4n\)中，除了\(4n - 1\)之外的所有数都会在后继状态的\(sg\)中出现

• 对于\(sg(4n)\)

只需证明，不存在两个数，\(a + b = 4n\)，并且\(sg(a) \oplus sg(b) = 4n - 1\)

设\(a = 4k + 1\)，那么\(sg(a) \oplus sg(b) = (4k + 1) \oplus (4n - 4k)\)，这时\(a \oplus b\)的末两位为\(1\)，不可能

设\(a = 4k + 2\)，那么\(sg(a) \oplus sg(b) = (4k + 2) \oplus (4n - 4k - 2)\)，这时末两位为\(2 \oplus 2 = 0\)，也不可能

设\(a = 4k + 3\)，那么\(sg(a) \oplus sg(b) = (4k + 4) \oplus (4n - 4k - 4)\)，末两位为\(0\)，不可能

设\(a = 4k + 4\)，那么\(sg(a) \oplus sg(b) = (4k + 3) \oplus (4n - 4k - 3)\)，末两位为\(3 \oplus 1 = 2\)，不可能

因此，\(sg(4n) = 4n - 1\)

• 对于\(sg(4n + 1)\)

类似的归纳不存在两个数，\(a, b\)，满足\(a + b = 4n + 1\)，且\(sg(a) \oplus sg(b) = 4n + 1\)

• 对于\(sg(4n + 2)\)和\(sg(4n + 3)\)同理

只需要\(16\)次讨论即可

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define ri register int
#define rep(io, st, ed) for(ri io = st; io <= ed; io ++)
#define drep(io, ed, st) for(ri io = ed; io >= st; io --)

#define gc getchar
inline int read() {
	int p = 0, w = 1; char c = gc();
	while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') w = -1; c = gc(); }
	while(c >= '0' && c <= '9') p = p * 10 + c - '0', c = gc();
	return p * w;
}

inline int get(int o) {
	int m = o & 3;
	if(m == 0) return o - 1;
	if(m == 1 || m == 2) return o;
	if(m == 3) return o + 1;
}

int main() {
	int T = read();
	while(T --) {
		int n = read(), sg = 0;
		rep(i, 1, n) sg ^= get(read());
		if(sg) printf("Alice\n");
		else printf("Bob\n");
	}
}