luoguP2490 [SDOI2011]黑白棋 博弈论 + 动态规划

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博弈部分是自己想出来的，\(dp\)的部分最后出了点差错QAQ

从简单的情况入手

比如\(k = 2\)

如果有这样的局面：$\circ \bullet $，那么先手必输，因为不论先手怎样移动，对手都可以紧逼，一直到墙角

如果有这样的局面：\(\circ \;\;\; \bullet\)，那么后手必输，因为先手只要走一步就可以到达上面的局面

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\(30\)分做法：

用全集减去所有初始状态两个球相邻的方案数即可

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于是，我们注意到了，当黑球和白球靠在一起时，这两个球的游戏就可以结束了

从左到右，两两棋子分别是一个子游戏

而它们玩的正是\(Nim\)游戏，有\(k / 2\)个堆，每次可以取一些石子

然而可以一次取最多\(d\)堆

这是一个\(N\)阶\(Nim\)和的游戏，当2进制下每一位\(1\)的个数都满足\(mod\;(d + 1)\)等于0时，先手必败

那么，我们不妨令\(f[i][j]\)表示2进制下前\(i\)位，当前已经划分出的和为\(j\)

枚举\(2\)进制下第\(i\)位选了多少个数，乘组合数转移即可

最后统计答案时，不要忘了，当和为\(i\)时，需要确定出每个棋子对的初始位置，再乘一个组合数即可

复杂度\(O(\frac{n^2}{d})\)（应该没错吧）

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define ri register int
#define rep(io, st, ed) for(ri io = st; io <= ed; io ++)
#define drep(io, ed, st) for(ri io = ed; io >= st; io --)

#define gc getchar
inline int read() {
	int p = 0, w = 1; char c = gc();
	while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') w = -1; c = gc(); }
	while(c >= '0' && c <= '9') p = p * 10 + c - '0', c = gc();
	return p * w;
}

const int pid = 16;
const int sid = 3e4 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
inline void inc(int &a, int b) { a += b; if(a >= mod) a -= mod; }
inline void dec(int &a, int b) { a -= b; if(a < 0) a += mod; }
inline int mul(int a, int b) { return 1ll * a * b % mod; }

int n, k, d;
int inv[sid], fac[sid];
int f[pid][sid];

inline void init() {
	inv[0] = inv[1] = 1;
	fac[0] = fac[1] = 1;
	rep(i, 2, 10000) {
		fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
		inv[i] = mul(inv[mod % i], mod - mod / i);
	}
	rep(i, 2, 10000) inv[i] = mul(inv[i], inv[i - 1]);
}

inline int C(int n, int m) {
	if(n < m) return 0;
	return mul(fac[n], mul(inv[m], inv[n - m]));
}

inline void dp() {
	f[0][0] = 1;
	for(ri i = 0; i <= 14; i ++) {
		int ns = (1 << i) * (d + 1);
		for(ri j = 0, jk = 0; j <= n - k; j += ns, jk += (d + 1))
			for(ri S = 0; S + j <= n - k; S ++)
		if(f[i][S]) inc(f[i + 1][S + j], mul(f[i][S], C(k / 2, jk)));
	}
	int ans = C(n, k);
	for(ri i = 0; i <= n - k; i ++) 
		dec(ans, mul(f[15][i], C(n - i - k / 2, k / 2)));
	printf("%d\n", ans);
}

int main() {
	init();
	cin >> n >> k >> d;
	dp();
	return 0;
}