P1980 [NOIP2013 普及组] 计数问题

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1980

术语

以下的英文术语均可以翻译为数字。

• digit: 一个数字字符，十进制就是 0-9 之间的一个字符；
• numeral: 用来表示数字的符号化表示，如 “Three”、“3”、“III”；
• number: 一种抽象的数字概念。

为了区分，下文中均使用英文术语。

注意：关于 numeral 和 number 区别见: 如何在英文写作中正确的表达数字？

十进制数表示法

十进制数(decimal numeral)由一串有限长度的 digit 序列组成，

\[a_ma_{m-1}\ldots a_0 \]

其中，\(a_i \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)。

numeral \(a_ma_{m-1}\ldots a_0\) 表示了 number \(a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots+a_{0}10^0\)。

注意：关于十进制数的详细介绍见 Wikipedia Decimal

前置 \(0\)

为简化问题，我们假设我们的 numeral 可以出现前置 \(0\)，即，从最左侧开始，可以出现多个连续的 \(0\)，如 \(03\)，\(003\)。通过前置 \(0\)， 我们可以使用三个 digit 来包含一位数、二位数、三位数的 number。

三个 digit

为简化问题，我们目前只考虑三位数之内的 number，且忽略 \(n\)（目前可视作 \(n = 999\)，用来包含所有的一位数、二位数、三位数)。

出现次数是？

根据题目，我们需要统计出 digit \(x\) 在所有 numeral 的 digit 中出现的次数。这里我们列出部分的 numeral，

\[\begin{array} {c|c|c} a_2&a_1&a_0\\ \hline 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&2\\ 0&0&3\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ 9&9&6\\ 9&9&7\\ 9&9&8\\ 9&9&9\\ \end{array} \]

令 \(C_i\) 等于第 \(i\) 位上 \(x\) 出现的总次数，那么\(x\) 在所有 numeral 的 digit 中出现的次数为 \(S=\sum_{i=0}^2C_i\)。

\(C_i\) 等于？

我们通过 \(x = 1\) 来进行说明。首先我们令 \(a_2 = 1\)，此时百位上的数字已经固定，\(a_1\) 和 \(a_0\) 分别有 \(0\) 到 \(9\) 十种可能，且彼此互不影响，所以 \(C_2 = 10 \times 10 = 100\)，同理我们得到 \(C_0=C_1=100\)。从而，我们最终得到 \(S=100+100+100=300\)。

通过上面的方式，我们可以得到任意 \(x\) 对应的 \(S\)。

注意：digit \(0\) 比较特殊，我们这里暂时未考虑。

考虑 \(n\) 呢？

上面的问题只看 digit 的个数，但忽略了 \(n\)。如果我们也要将 \(n\) 考虑在内呢？

\(n=123\), \(x=3\)

这里以 \(n=123\)，\(x=3\) 进行举例。首先我们可以知道 \(a_2 = 3\) 是不可能的，所以此时 \(C_2 = 0\)。下面我们考虑 \(a_1 = 3\)，此时 \(a_2\) 必须小于 \(1\), 所以只有 \(a_2 = 0\) 一种可能，由于向前面借了一位， \(a_0\) 可以包含 \(0\) 到 \(9\) 十种可能，从而我们得到 \(C_1 = 10\)。然后我们考虑 \(a_0 = 3\)，当 \(a_2 = 1\) 时，需满足 \(a_1 \leqslant 2\)；当 \(a_2 = 0\) 时，\(a_1\) 可以包含 \(0\) 到 \(9\) 十种可能，加起来我们有 \(C_0 = 3 + 10 = 13\) 种可能。最终，我们得到 \(S=0+10+13=23\)。

\(n=123\), \(x=2\)

这里以 \(n=123\)，\(x=2\) 进行举例。首先我们可以知道 \(a_2 = 2\) 是不可能的，所以此时 \(C_2 = 0\)。下面我们考虑 \(a_1 = 2\)，此时 \(a_2\) 有 \(0\) 和 \(1\) 两种可能，当 \(a_2 = 1\), 需满足 \(a_1 \leqslant 3\)；当 \(a_2 = 0\), \(a_1\) 可以包含 \(0\) 到 \(9\) 十种可能，从而我们得到 \(C_1 = 4 + 10 = 14\)。然后我们考虑 \(a_0 = 2\)，当 \(a_2 = 1\) 时，需满足 \(a_1 \leqslant 2\)；当 \(a_2 = 0\) 时，\(a_1\) 可以包含 \(0\) 到 \(9\) 十种可能，加起来我们有 \(C_0 = 3 + 10 = 13\) 种可能。最终，我们得到 \(S=0+14+13=27\)。

\(n=123\), \(x=1\)

这里以 \(n=123\)，\(x=1\) 进行举例。首先我们令 \(a_2=1\)，当 \(a_1=2\) 时，需满足 \(a_0 \leqslant 3\)；当 \(a_1 \leqslant 1\) 时，\(a_0\) 可以包含 \(0\) 到 \(9\) 十种可能，故 \(C_2 = 4 + 10 + 10 = 24\)。下面我们考虑 \(a_1 = 1\)，此时 \(a_2\) 有 \(0\) 和 \(1\) 两种可能，当 \(a_2 \leqslant 1\), \(a_0\) 可以包含 \(0\) 到 \(9\) 十种可能，从而我们得到 \(C_1 = 10 + 10 = 20\)。然后我们考虑 \(a_0 = 1\)，当 \(a_2 = 1\) 时，需满足 \(a_1 \leqslant 2\)；当 \(a_2 = 0\) 时，\(a_1\) 可以包含 \(0\) 到 \(9\) 十种可能，加起来我们有 \(C_0 = 3 + 10 = 13\) 种可能。最终，我们得到 \(S=24+20+13=57\)。

我们发现上面的统计方式，通过程序来处理的话比较麻烦，最好一种统一的方式来处理各种情况，

移除 digit \(x\)，再看看！

• \(x > a_i\)，
  当 \(x > a_i\)，我们令 \(a_{i-1} \gets a_{i-1} - 1\)，\(a_k \gets 9 \text{ for } k > i\)。比如对于 \(n = 123\), \(x=3\)，\(i = 2\)，我们得到 \(039\)，我们移除 \(a_2\) 得到 \(09\)，在对 \(09 + 1\) 得到 \(10\)，我们发现这正好等于 \(C_2\)；

• \(x = a_i\)，
  当 \(x = a_i\)，不进行额外操作。比如对于 \(n = 123\), \(x=2\)，\(i = 2\)，我们得到 \(123\)，我们移除 \(a_2\) 得到 \(13\)，在对 \(13 + 1\) 得到 \(14\)，我们发现这也正好等于 \(C_2\)；

• \(x < a_i\)，
  当 \(x = a_i\)，我们令 \(a_k \gets 9 \text{ for } k > i\)。比如对于 \(n = 123\), \(x=1\)，\(i = 2\)，我们得到 \(119\)，我们移除 \(a_2\) 得到 \(19\)，在对 \(19 + 1\) 得到 \(20\)，我们发现这又正好等于 \(C_2\)。

上面的方法可以总结为，

1. 首先判断 \(x\) 和 \(a_i\) 的大小关系；
2. 根据判断结果来对其他的 digit 进行修改；
3. 移除 \(x\) 对应的 \(a_i\)，得到一个新的 numeral
4. 计算 numeral 对应的 number
5. 最后在对得到的结果 \(+1\) 即可。

注意：如果 \(a_i\) 最高位，且 \(x > a_i\)，那么此时没有可以借位的 digit，所以 \(C_i = 0\)。

注意：digit \(0\) 比较特殊，我们这里暂时未考虑。

多出来 \(0\)？

如果我们按照前面的方法对 \(x = 0\) 进行统计，我们会发现 \(0\) 的次数被多统计了一些。
为了解释这个问题，这里我们再次以三个 digit 的 numeral 进行说明。

对于任意一个三位数的 \(n\)，我们之前的方法会把所有有一个前置 \(0\) 和有两个前置 \(0\) 的 numeral 包含进来，比如 \(010\)，\(001\)。而这些前置 \(0\) 实际上不应该被统计进来，为了得到正确的答案，我们可以在最终结果的地方减去多统计的前置 \(0\) 。

前置 \(0\) 的个数

前置 \(0\) 的个数为 \(a_2 = 0\) 的 numeral 个数，以及 \(a_2=0\) 同时 \(a_1 = 0\) 的numeral 个数，因为题目中 number 不包含 \(0\)，所以我们最终还要加上 \(a_2=0\) 同时 \(a_1 = 0\) 同时 \(a_0 = 0\) 的情况。最终我们可以得到多统计的前置 \(0\) 个数为 \(100 + 10 + 1 = 10^2 + 10^1 + 10^0 = 111\)。
由此我们可以推广 \(m\) 个 digit 的 numeral 多统计的前置 \(0\) 为 \(\sum_{i=0}^{m-1} 10^i\)。

结论

• \(x \ne 0\) 时，采用移除 digit \(x\) 的方法即可。
• \(x = 0\) 时，采用移除 digit \(x\) 方法的同时还需要减去多余的前置 \(0\)。

代码如下：

// https://www.luogu.com.cn/problem/P1980
// https://www.cnblogs.com/revc/p/17087297.html

#include <iostream>
#include <cmath>

int main()
{
    int n, x;

    std::cin >> n >> x;

    int digits[7];

    int m = 0;  // the number of digits
    while(n > 0) // NOTE: store digits in reverse order
    {
        digits[m++] = n % 10;
        n /= 10;
    }

    int S = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int C = 0;
        int borrow = 0;
        if (x > digits[i])
        {
            if (i+1 == m) continue; /* fail to borrow */
            borrow = 1;
            digits[i+1]--;
        }

        for (int j = m - 1; j > i; j--)
        {
            C = C * 10 + digits[j];
        }

        for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
        {
            C = C * 10 + (digits[i]==x ? digits[j] : 9);
        }

        digits[i+1] += borrow;
        S += C + 1;
    }

    if (x == 0)
    {
        int subtrahend = 1;
        while(m--)
        {
            S -= subtrahend;
            subtrahend *= 10;
        }
    }

    std::cout << S << std::endl;

    return 0;
}