P1014 [NOIP1999 普及组] Cantor 表

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1014

有理数可枚举

In 1873 Cantor proved the rational numbers countable, i.e. they may be placed in one-one correspondence with the natural numbers.
来自：Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

1873 年，Cantor 证明了有理数是可枚举的。可枚举指的是，你可以为集合中的每个元素都分配一个唯一的自然数，建立一个一一对应的关系。

有理数具有 $p/q$ 的形式。$p$ 表示分母，$q$ 表示分子，其中 $p$ 和 $q$ 均为正整数。
我们可以将所有有理数排列在一个表格中，其中 $p$ 表示行，$q$ 表示列，

$$\begin{array}{ccccc}p/q& 1& 2& 3& \cdots \\ 1& 1/2& 1/2& 1/3& \cdots \\ 2& 2/1& 2/2& 2/3& \cdots \\ 3& 3/1& 3/2& 3/3& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}$$

为了对有理数进行编号，我们需要按照某种方式，将元素排成一条线。这里我们从 $1/1$ 出发，然后移动到 $2/1$，再往斜上方进行移动。继续按照这种方式，即，我们按照 $\mathrm{Z}$ 型线路对沿路的元素进行编号，具体可查看下图，

图片来自：How can the set of the rational numbers be countable if there is no

通过上面的方式，我们为每个有理数都指定了一个编号，下表列出了一部分有理数和其编号，

$$\begin{array}{cccccc}N& 1& 2& 3& 4& \cdots \\ R& 1/1& 1/2& 2/1& 3/1& \cdots \end{array}$$

通过编号 $N$ 获取有理数 $R$

哪一条对角线？

题目中我们需要通过给定的编号 $N$，来获取对应的有理数 $R$。
为了获取有理数 $R$，我们首先需要知道 $R$ 位于第几条对角线。通过观察图片，我们发现第一条对角线上的元素个数是 $1$，第二条对角线上的元素个数是 $2$，按照这种方式，我们可以得知第 $n$ 条对角线上面的元素个数是 $n$。我们由此可以得知前 $n$ 条对角线的元素个数总和为 $1+2+\cdots +n$，根据求和公式我们可得，

$$1+2+\cdots +n=\sum _{i=1}^{n}i={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$$

假设编号 $N$ 在 $n$ 条对角线上，那么 $N$ 满足以下的不等式

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}<N⩽{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\\ n^2-n<2N⩽n^2+n\\ \\ \\ 2N⩽n^2+n\\ 0⩽n^2+n-2N\\ {\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+8N}}{2}}⩽n\\ \\ \\ n^2-n<2N\\ n^2-n-2N<0\\ n<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{1+8N}}{2}}\\ \\ \\ {\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+8N}}{2}}⩽n<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{1+8N}}{2}}\\ n\in [{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+8N}}{2}},{\displaystyle \frac{1+\sqrt{1+8N}}{2}})\end{array}$$

我们注意到 $[{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+8N}}{2}},{\displaystyle \frac{1+\sqrt{1+8N}}{2}})$ 的区间长度为 1。这时候，我们考虑两种情况：

1. 左端点为整数。右端点此时也为整数，所以我们可知 $n$ 的值必为左端点，即 $n=\lceil {\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+8N}}{2}}\rceil$。如果为右端点减去一个极小值 $ϵ$，再对其向下取整，我们可以得到，$n=\lfloor {\displaystyle \frac{1+\sqrt{1+8N}}{2}}-ϵ\rfloor$；
2. 左端点为小数。我们可以很容易就知道 $n=\lceil {\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+8N}}{2}}\rceil$, 右端点此时也为小数，如果为右端点减去一个极小值 $ϵ$（小于左端点和左端点向下取整的差值），再对其向下取整，我们可以得到，$n=\lfloor {\displaystyle \frac{1+\sqrt{1+8N}}{2}}-ϵ\rfloor$；

现在，我们已经得到了两个公式。通过任一公式，我们都可以知道元素位于第几条对角线。

对角线上第几个元素？

下一步，我们需要知道这个元素是对角线上的第几个元素。我们已经知道这个元素位于第 $n$ 条对角线，那么只要将编号 $N$ 减去前 $n-1$ 对角线包含的元素个数，就可以得出元素在对角线 $n$ 上的位置 $k$。结合求和公式，我们得到，

$$\begin{array}{c}k=N-\sum _{i=1}^{n-1}i\\ k=N-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\end{array}$$

分母和分子

图片来自：How can the set of the rational numbers be countable if there is no

我们按照 $\mathrm{Z}$ 型线路对沿路的元素进行编号，奇数对角线我们按照 $\nearrow$ 的方向进行编号，偶数对角线我们则以 $\swarrow$ 方向进行编号。

通过观察，我们发现同一对角线上的分母和分子之和 $p+q$ 等于对角线编号 $n+1$。如果对角线方向为 $\nearrow$，
则对角线上的第一个元素的分子为 $1$，对角线上的第 $k$ 个元素的分子为 $k$；如果对角线方向为 $\swarrow$，则对角线上的第一个元素的分母为 $1$，对角线上的第 $k$ 个元素的分母为 $k$。从而我们可以得到如下的公式，

$$p=\{\begin{array}{ll}(n+1)-k,& n\text{ 是奇数}\\ k,& n\text{ 是偶数}\end{array}$$

$$q=\{\begin{array}{ll}(n+1)-k,& n\text{ 是偶数}\\ k,& n\text{ 是奇数}\end{array}$$

代码

通过上面的公式，我们得到最终的代码，

// https://www.luogu.com.cn/problem/P1014

#include <iostream>
#include <cmath>

int main()
{
    int N, n, k, p, q;

    std::cin >> N;

    n = ceil((sqrt(1+8*N)-1)/2);

    /* Another way to calculate the diagonal number `n' */
    // const double epsilon = 1e-9;
    // n = floor((sqrt(1+8*N)+1)/2-epsilon);

    k = N-n*(n-1)/2;

    if (n&1)
    {
        p = (n+1) - k;
        q = k;
    }
    else
    {
        p = k;
        q = (n+1) - k;
    }

    std::cout << p << '/' << q << std::endl;
    return 0;
}