【题解】CF1264F Beautiful Fibonacci Problem

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讲一个不是官方题解的做法。该做法来自 评论区。

题目要求构造 \(a+id\) 为 \(F_{b+ie} \bmod 10^{18}\) 的一个子串。自然考虑把这个子串在一个固定的位置构造。但是打个小一点的表容易发现最后几位是无法构造出所有数字的。

发现 \(a+id<10^6\)，也就是说 \(a+id\) 最多 \(6\) 位。考虑空开 \(F_{b+ie}\) 的最后 \(6\) 位，在倒数 \(7\sim12\) 位构造，即使得 \(a+id=F_{b+ie}/10^6\bmod10^6\)。

令 \(p\) 为斐波那契数列 \(\bmod 10^6\) 的循环周期（\(p=1.5\times10^6\)）。思考一下 \(F_{kp+1}/10^6\bmod10^6\) 会形成什么。

Lemma: \(F_{n+m+1}=F_nF_m+F_{n+1}F_{m+1}\)

这是一个经典结论，证明网上应该很多，这里就不赘述了。令 \(n=kp,m=p\) 则可以得到： \(F_{(k+1)p+1}\equiv F_{kp}F_p+F_{kp+1}F_{p+1}\)。由 \(p\) 的定义可得等式右边的第一项不影响结果（\(F_{kp}\equiv F_p\equiv 0\pmod {10^6}\Rightarrow F_{kp}F_p\equiv 0\pmod{10^{12}}\)，所以倒数 \(7\sim12\) 位均为 \(0\)）。

因此我们得到 \(F_{(k+1)p+1}/10^6\bmod10^6=(F_{kp+1}F_{p+1})/10^6\bmod10^6\)。把 \(F_i\) 分成三块考虑：\(A_i=F_i/10^{12}\)，\(B_i=F_i/10^6\bmod10^6\)，\(C_i=F_i\bmod10^6\)。显然 \(C_{kp+1}=C_{p+1}=1\)。按照这个方式把 \(F_{kp+1}F_{p+1}\) 展开：

\[\begin{aligned} F_{kp+1}F_{p+1}=&\ (A_{kp+1}\times10^{12}+B_{kp+1}\times10^6+1)(A_{p+1}\times10^{12}+B_{p+1}\times10^6+1)\\ =&\ A_{kp+1}A_{p+1}\times10^{24}+(A_{kp+1}B_{p+1}+A_{p+1}B_{kp+1})\times10^{18}+\\ &(A_{kp+1}+A_{p+1}+B_{kp+1}B_{p+1})\times10^{12}+(B_{kp+1}+B_{p+1})\times10^6+1\\ =&\ \text{sth.}\times10^{12}+(B_{kp+1}+B_{p+1})\times10^6+1 \end{aligned} \]

于是可以得到 \(B_{(k+1)p+1}\equiv B_{kp+1}+B_{p+1}\pmod{10^6}\)，即我们想要构造出等差数列的地方满足这个结论。考虑到这个结论中的 \(p\) 可以随便乘上一个整数（只要是周期长度就行），我们可以想办法弄出一个 \(B_{xp+1}=1\)，这样我们就可以直接构造 \(b=a\cdot x\cdot p + 1\)，\(e=d\cdot x\cdot p\)。

计算得到 \(B_{p+1}=677449\)，那么有 \(B_{xp+1}\equiv 677449x\pmod{10^6}\)。那么我们只需要找到 \(677449\) 在 \(\bmod 10^6\) 意义下的逆元。计算出来 \(x=445049\)。

code：

#include <cstdio>

typedef unsigned long long ull;
const ull k = 445049,p = 1.5e6;

ull n,a,d,b,e;

int main() {
    scanf("%llu%llu%llu",&n,&a,&d);
    b = a * k * p + 1,e = d * k * p;
    printf("%llu %llu\n",b,e);
    return 0;
}