算法系列之六 算法时间复杂度计算
算法的时间复杂度的计算是一个可以无限深入的课题。但是对于程序员来说，能够大概的评估出复杂度就已经足够用了。
在算法这个系列之前的几篇文章里，介绍了算法的使用和原理，但是我故意的将复杂度的介绍没有写上去。有两个原因：第一是这个算法复杂度介绍起来还是比较麻烦，一下子介绍不完，写在一篇里不太合适；第二是还没有想好怎么写。
现在终于可以想得差不多了，可以开工写写。我的本意是尽量写得简单易懂，但是不把概念和内容简化。这看起来颇有难度。如果说你读完了本文，还是觉得没懂。欢迎提出意见，让我能够进步一下，写得更简单一些。
什么是 算法复杂度
首先，作为一个算法来说，有两个特性：
- 它用来处理一定规模的数据
- 它处理数据 需要时间
有了这两个基础的认知，我们可以简单的认为：随着数据规模的变化，算法处理数据需要的时间也会变化。
算法时间复杂度就是：用一个公式来表示，这个数据规模和时间变化的关系。
比如：
假设一个算法 F，一个数据集 N；
- 当 N 中包含 10个元素时， 使用算法 F 进行处理，需要花费 5s。
- 当 N 中包含 30个元素时，使用算法 F 进行处理，需要花费 15s。
- 当 N 中包含 300 个元素时，使用算法 F 进行处理，需要花费 150s。
- ……
可以看到，随着数据规模的增长，算法处理需要的时间也在变化。如果我们想要表达这个时间变化的趋势和数据集N的关系的话，我们假设这个关系是 \(T(N)\) 我们可以写下面的一个算式：
\[T(N) = F(N)\]
这里的 \(T(N)\) 表示了一个算法对于数据集N需要使用的时间的精确计算。
Big O 表示法
在实际上，精确计算公式是不可能被统计计算出来的，因为不同的语句，不同的操作，耗费的时间也是不一样。所以，在实际应用中，我们不需要精确计算，只需要一个公式，来表达 时间花费和数据集大小的渐近关系。
所以，在描述算法的时候，一般采用 大O(Big-O notation)表示，又称为渐进符号，
Big-O 是用于描述函数渐近行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。 -- 《维基百科》
上面的解释太玄幻。
其实简单来说，一个函数是几个项的和，每个项都能被归入到一个数量级，比如（平方、立方）。当数据集（自变量）趋于无穷大时，数量级大的变化太大，造成了数量级小的部分对函数结果的影响小到可以被忽略。
所以，我们就简单的使用数量级大的部分来替代整个函数，来简化表达。
比如：
\[T(N) = 2N^3 + N^2 + 1024\]
这个 \(T(N)\) 表达了某个算法的时间复杂度。
我们可以将这个等式分为三个项，按照数量级大小降序：
- A: \(2N^3\)
- B: \(N^2\)
- C: \(1024\)
我们对N取几个值来分别看一下 A 、B 、C 三个部分的值：
- 当N=10；A=2000，B=100，C=1024
- 当N=100；A=2000000，B=10000，C=1024
- 当N=1000；A=2000000000(
20亿)，B=1000000(100万)，C=1024 - 当N=10000；A=2000000000000(
2兆)，B=100000000(1亿)，C=1024 - 就不计算了吧……
可以看到，当数据集变大的时候，数量级大的部分增长的速度远远超过数量级小的部分。当N增大时，A占主导，B 和 C 两个部分的值相对于A部分来说，对结果的影响就可以忽略不计了。
然后，再看 A 部分，决定 A 部分大小的是 \(n^3\)。当我们要表达一个渐进关系的时候，常数并不影响这个关系的表达，所以 A 部分中的 常数就可以忽略。
最终，变成了下面：
\[T(N) = O(N^3)\]
这个 \(O(N^3)\) ，就是算法的时间复杂度。
TIPS: 上面的例子中，A部分常数是 2。可以放心的忽略。但如果是常数是 \(10^3\)，忽略的话，结果就是错误的了。所以要对可能的大常数敏感。
计算代码的时间复杂度
明白了如何表示算法的复杂度。那如何计算复杂度呢？
简单计算
给出一个段简单的代码：将数组中每个元素的值加1。
我们分析它的语句执行的次数：
所以这里的时间复杂度是：
\[T(N) = n + 1 \to O(n)\]
冒泡排序分析
再来一个例子： 计算冒泡排序的算法复杂度
void sort(int *a, int len) {
for (int i = 0; i < len; i++) {
int min = i;
for(int j = i; j< len; j++){
if (a[j] < a[min]) // 比较动作
min = j;
}
swap(a, min, i);
}
}
对于基于比较的排序算法来说，我们在计算复杂度的时候，是计算比较了多少次。
- 第一次循环，比较了 N次；
- 第二次循环，比较了 N-1次；
- 第三次循环，比较了 N-2次；
总的比较次数就是 \(N + (N-1) + (N-2) + \ldots + 1 \)，就是N的阶加。根据阶加公式可得：
\[ N\sim\quad = \frac {n(n+1)} 2 \Rightarrow O(n^2)\]
那么，冒泡排序的时间复杂度就是 \(O(n^2)\)。
更复杂的有什么？
在上面的两个例子中, 算法是稳定的。什么叫稳定呢？ 就是不管数据集的内容是什么样的，以什么方式来组合，算法都是以这个复杂度来运行。
拿冒泡排序来说，不管给到的原始数组是排好序的、倒序的、乱序的，比较次数都是一样的，不存在算法的最好情况和最坏情况，这样的算法叫做稳定算法。
但是比如像 快速排序、堆排序 都是不稳定的算法。因为这类算法依赖于原始数据集的内容和其内容的组合方式。例如快速排序，如果原始数组是一个接近有序的，那么它的速度会快很多，如果原始数组是倒序的，那么快排的性能会急剧的恶化。而且，快排的效率还依赖于基准数的选择。
但是，对于数据集的分析这件事情，实在是太难了，远远超过了普通程序员的能力（包括我😂），所以，这里我们就不再做数据的分析了。如果以后，我能说明白的时候，再写一篇另外的。
实例分析：快速排序复杂度
快排的文章详见 这里。快排几乎是使用最广泛的排序了，所以用它来做例子很合适。
同冒泡排序一样，快速排序是比较排序算法。我们只计算他比较的次数。
假设 n 是要排序的数据集规模，d 是递归的深度。
最好的情况
观察法
每一次递归都能分成两个子数组，大小 \(\le \frac n 2\)，这样，递归的深度是最小的，就有：\(2^d = n\) ，那么容易知道，递归深度是： \(d = \log_2n\) 。在每一层的递归中，快排都要将所有的元素比较一遍，所以每一层的比较次数为 \(n\) 。那么，整体的比较次数为 \(n \cdot \log_2n\) ， 那么，时间复杂度就是 \(O(n\cdot \log n)\) 。
推理法
有一个东东叫 主定理，这个东西广泛用在了递推分治算法的复杂度计算上，具体就不说了，大家自己上 Wikipedia 上看吧。这里，我们用它来进行推导。
假设时间复杂度是 \(T(n)\) ，那么，很明显， \(T(1) = T(0) = O(1)\)
快排中的分治算法符合主定理的递推关系式，所以有：
\[T(n) = 2T( \frac n 2 ) + O(n)\]
假定：
\[f(n) = O(n) = \Theta(n^{\log_22} \log^kn)\]
可得 \(k = 0\) ；符合 主定理的第二种情形。
可得：
\[T(n) = \Theta(n\log_22 \cdot \log n) \Rightarrow O(n\cdot \log n)\]
最坏的情况
每一次递归，划分出两个部分，一个部分中元素个数为0，另一个部分中，为 \(n-1\) ，这样，就需要递归 \(n\)次，每一层递归都需要将所有元素比较一次，那么整体的比较次数就是 \(n^2\) 。那么，时间复杂度就是 \(O(n^2)\) 。
平均情况
平均情况推算下来稍有点麻烦。如果我的推论讲得不清楚，大家只需要记住：
在平均的情况下，快排的算法复杂度和其在最好的情况下是一样的，都是 \(O(n\cdot \log n)\) 。
区别在于Big-O中隐藏的常量会大一点。
平均情况，就是在递归划分数组的过程中，有好的情况，有坏的情况。我们将两种情况极端化，即：使用最好的情况和最坏的情况，在递归树上交替出现，来观察算法的变化。
如下图：
在根节点书，并划分出两个子数组： 0 和 n-1，这是最坏情况。在下一层，划分的大小为 \(\frac {n-1} 2\) 和 \(\frac {n-1} 2 -1\)。
这样每两层递归，会产生三种情况的组合：0、\(\frac {n-1} 2\) 和 \(\frac {n-1} 2 -1\) 。这个组合的划分代价为 \(O(n) + O(n-1) + O(1) = O(n)\) 。可以注意到，这个代价和平等划分的每次递归的时间是一样的！坏情况产生的代价被好的情况吸收。
区别在于，这种划分的方法会使得递归树变深，也就是常数会变得大一点，而最后的结果依然是 \(O(n\cdot \log n)\) 。
如果想要用数学的方式将其推导出来，也不是特别难，这个在 《算法导论》中有非常严谨的推论和计算，这里面涉及到了非常多的数学知识：求和公式、随机指标变量、调和级数、数学期望等等，一篇博文，不能覆盖全面，为了不误导读者，如果有兴趣，强烈建议，去读《算法导论》。
