从购物找零到两数之和:一道经典算法题的深度解析|LeetCode 1 两数之和

LeetCode 1 两数之和(Two Sum)

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生活中的算法

还记得上次去超市购物吗?你拿着一张100元钞票,挑选了一些商品,收银员告诉你总价是87元。这时候,收银员要找给你13元。但如果收银柜里只有零散的1元、5元、10元,收银员该如何快速地从这些零钱中找出两张,正好加起来等于13元呢?

这就是我们今天要讨论的"两数之和"问题在生活中的一个实例。

问题描述

LeetCode第1题"两数之和"是这样描述的:给定一个整数数组nums和一个整数目标值target,请你在该数组中找出和为目标值target的那两个整数,并返回它们的数组下标。

假设每种输入只会对应一个答案,而且不能重复使用相同的元素。

这不就是收银员找零钱的问题吗?数组就是收银柜里的零钱,target就是要找给顾客的金额。

最直观的解法:暴力穷举

如果你是收银员,最直观的做法是什么?大概率是这样:拿起第一张钞票,然后挨个和其他钞票配对,看看加起来是不是13元。不行的话,再拿第二张钞票,继续和后面的钞票配对…

这就是我们的暴力解法,它朴素但有效。具体来说:

  1. 拿起第一个数字
  2. 依次与后面的每个数字相加,检查是否等于目标值
  3. 如果找到了,就返回这两个数字的位置
  4. 如果没找到,就拿起第二个数字,重复步骤2和3
  5. 以此类推,直到找到答案或检查完所有可能

让我们用一个具体的例子来模拟这个过程:

nums = [2, 7, 11, 15], target = 9
第一轮:拿起2
2 + 7 = 9,找到答案了!
返回[0, 1]
如果没这么幸运:
2 + 11 = 13,不是9,继续
2 + 15 = 17,不是9,继续
拿起7...

这种思路可以用Java代码这样实现:

public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
    // 外层循环:拿起第一个数
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 内层循环:依次与后面的数配对
        for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {
            // 如果两数之和等于目标值,返回它们的位置
            if (nums[i] + nums[j] == target) {
                return new int[]{i, j};
            }
        }
    }
    // 如果找不到答案,返回空数组
    return new int[]{};
}

优化解法:哈希表

让我们回到超市的场景。假设收银员手里拿着一张5元,要找给顾客13元。这时候收银员在想:我现在需要找一张8元的(13 - 5 = 8)。如果能立即知道柜台里有没有8元,问题就解决了。

这就是哈希表解法的核心思想:我们可以使用一个哈希表来记录每个数字出现的位置,这样就能在O(1)时间内查找任何数字。

哈希表解法的原理

  1. 创建一个哈希表,用于存储每个数字及其下标
  2. 遍历数组中的每个数字current
  3. 计算需要配对的数字complement = target - current
  4. 在哈希表中查找complement
    • 如果找到了,说明我们找到了答案
    • 如果没找到,把当前数字和它的下标放入哈希表,继续遍历

算法步骤(伪代码)

  1. 创建空的哈希表map
  2. 对于数组中的每个数字nums[i]:
    • 计算complement = target - nums[i]
    • 如果map中包含complement,返回[map.get(complement), i]
    • 否则,将nums[i]和i放入map中
  3. 如果遍历完还没找到,返回空数组

示例运行

让我们用示例数据模拟一下:

nums = [2, 7, 11, 15], target = 9

第一步:i = 0
- current = 2
- complement = 9 - 2 = 7
- map为空,找不到7
- 将2和它的下标0放入map:{2:0}

第二步:i = 1
- current = 7
- complement = 9 - 7 = 2
- 在map中找到了2!
- 返回[map.get(2), 1],也就是[0, 1]

Java代码实现

public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
    // 创建哈希表,用于存储数字和下标
    Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    
    // 遍历数组
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 计算需要的配对数字
        int complement = target - nums[i];
        
        // 查找配对数字是否存在
        if (map.containsKey(complement)) {
            // 找到答案,返回两个数字的下标
            return new int[]{map.get(complement), i};
        }
        
        // 将当前数字和下标放入哈希表
        map.put(nums[i], i);
    }
    
    // 如果找不到答案,返回空数组
    return new int[]{};
}

暴力解法vs哈希表解法

让我们比较一下这两种解法:
暴力解法用两层循环检查所有可能的组合,时间复杂度是O(n²),但空间复杂度只有O(1)。它的优点是直观、易于理解,适合处理小规模数据。

哈希表解法只需要遍历一次数组,时间复杂度是O(n),但需要额外的哈希表存储数据,空间复杂度是O(n)。它用空间换时间,特别适合处理大规模数据。

题目模式总结

这道题虽然简单,但它体现了一个重要的算法模式:查找配对元素

这种模式在算法题中经常出现,比如:

  • 判断数组中是否存在两个数的差等于某个值
  • 在排序数组中找出两个数,它们的平方和等于某个值
  • 在字符串中找出两个字符,它们的ASCII码之和等于某个值

解决这类问题的通用思路是:

  1. 先思考暴力解法:两层循环遍历所有可能的组合
  2. 考虑优化:能否将"查找配对元素"的过程优化到O(1)时间复杂度
  3. 思考数据结构:通常哈希表是优化这类问题的利器

小结

通过这道题,我们不仅学会了如何解决"两数之和",更重要的是理解了一个常见的算法模式。下次遇到类似的"找配对元素"问题,我们就知道该如何思考了。

学习算法最重要的不是背解法,而是理解思维方式。希望这篇文章对你有帮助!


作者:忍者程序员
公众号:忍者算法

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