从存钱罐到子数组:一个关于累加和的精妙问题|LeetCode 560 和为K的子数组
LeetCode 560 和为K的子数组
点此看全部题解 LeetCode必刷100题:一份来自面试官的算法地图(题解持续更新中)
生活中的算法
你有没有这样的经历:每天往存钱罐里存一些零钱,某一天突然想知道,从哪天开始存到哪天结束,刚好能凑够买一件心仪物品的钱?这其实就是在寻找"和为特定值的连续数字序列"。
这个问题在金融分析、数据处理等领域都有着广泛的应用。比如分析股票的累计收益,寻找特定增长区间;或是在气象数据中寻找累计降雨量达到特定值的时间段。
问题描述
LeetCode第560题"和为K的子数组"是这样描述的:给你一个整数数组 nums 和一个整数 k,请你统计并返回该数组中和为 k 的连续子数组的个数。
例如:
- 输入:nums = [1,1,1], k = 2
- 输出:2
- 解释:有两个子数组之和为 2:[1,1] 和 [1,1]
最直观的解法:暴力枚举法
最容易想到的方法是:枚举所有可能的子数组,计算它们的和,统计等于k的个数。
让我们用一个例子来模拟这个过程:
nums = [1,2,3], k = 3
检查所有子数组:
[1] -> sum = 1 ≠ 3
[1,2] -> sum = 3 = 3 ✓
[1,2,3] -> sum = 6 ≠ 3
[2] -> sum = 2 ≠ 3
[2,3] -> sum = 5 ≠ 3
[3] -> sum = 3 = 3 ✓
找到两个和为3的子数组
这种思路可以用Java代码这样实现:
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
int count = 0;
// 枚举所有可能的起点
for (int start = 0; start < nums.length; start++) {
int sum = 0;
// 从起点开始累加
for (int end = start; end < nums.length; end++) {
sum += nums[end];
// 判断当前子数组之和是否等于k
if (sum == k) {
count++;
}
}
}
return count;
}
优化解法:前缀和 + 哈希表
仔细观察会发现,我们在计算子数组之和时做了很多重复计算。实际上,我们可以使用前缀和的概念来优化。更妙的是,我们可以结合哈希表来快速找到符合条件的子数组。
前缀和的原理
前缀和是到当前位置为止所有数的和。如果两个前缀和之差为k,那么这两个位置之间的子数组和就是k。
算法步骤(伪代码)
- 初始化哈希表,记录前缀和出现的次数
- 初始化前缀和为0,计数为1(空数组的前缀和)
- 遍历数组,对于每个位置:
- 更新前缀和
- 查找是否存在前缀和等于(当前前缀和-k)的记录
- 更新哈希表中前缀和的出现次数
示例运行
让我们用nums = [1,2,1,2], k = 3模拟这个过程:
初始状态:
前缀和Map = {0:1}
count = 0
1. 处理1:
前缀和 = 1
查找Map中是否有key为(1-3)=-2的记录:无
更新Map = {0:1, 1:1}
2. 处理2:
前缀和 = 3
查找Map中是否有key为(3-3)=0的记录:有,count += 1
更新Map = {0:1, 1:1, 3:1}
3. 处理1:
前缀和 = 4
查找Map中是否有key为(4-3)=1的记录:有,count += 1
更新Map = {0:1, 1:1, 3:1, 4:1}
4. 处理2:
前缀和 = 6
查找Map中是否有key为(6-3)=3的记录:有,count += 1
更新Map = {0:1, 1:1, 3:1, 4:1, 6:1}
Java代码实现
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
// 存储前缀和及其出现次数
Map<Integer, Integer> prefixSumCount = new HashMap<>();
// 初始化前缀和为0的情况
prefixSumCount.put(0, 1);
int count = 0;
int prefixSum = 0;
for (int num : nums) {
// 更新前缀和
prefixSum += num;
// 查找是否存在前缀和等于(当前前缀和-k)的记录
count += prefixSumCount.getOrDefault(prefixSum - k, 0);
// 更新当前前缀和的出现次数
prefixSumCount.put(prefixSum,
prefixSumCount.getOrDefault(prefixSum, 0) + 1);
}
return count;
}
解法比较
让我们比较这两种解法:
暴力枚举法:
- 时间复杂度:O(n²)
- 空间复杂度:O(1)
- 优点:直观易懂
- 缺点:效率低,有大量重复计算
前缀和 + 哈希表法:
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(n)
- 优点:一次遍历就能得到结果
- 缺点:需要额外空间存储前缀和信息
题目模式总结
这道题体现了几个重要的算法思想:
- 前缀和技巧:通过预处理简化区间和的计算
- 哈希表应用:用于快速查找满足条件的值
- 空间换时间:通过存储中间结果来提高效率
这种解题模式在很多问题中都有应用,比如:
- 和为k的最长子数组
- 连续数组(0和1数量相等)
- 矩阵区域和检索
解决此类问题的通用思路是:
- 考虑是否可以通过预处理简化重复计算
- 思考如何利用已计算的结果
- 关注数值之间的关系转换
- 考虑边界情况的处理
小结
通过这道题,我们不仅学会了如何找到和为k的子数组,更重要的是掌握了前缀和这个强大的预处理技巧,以及如何巧妙地结合哈希表来优化查找过程。
记住,当遇到需要频繁计算区间和的问题时,前缀和往往是一个很好的切入点。而当我们需要快速判断某个值是否存在时,哈希表常常能带来惊喜!
作者:忍者算法
公众号:忍者算法
· [翻译] 为什么 Tracebit 用 C# 开发
· 腾讯ima接入deepseek-r1,借用别人脑子用用成真了~
· Deepseek官网太卡,教你白嫖阿里云的Deepseek-R1满血版
· DeepSeek崛起:程序员“饭碗”被抢,还是职业进化新起点?
· RFID实践——.NET IoT程序读取高频RFID卡/标签