估计、偏差和方差
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前言
本系列文章为 《Deep Learning》 读书笔记，可以参看原书一起阅读，效果更佳。
估计
统计的目的是为了推断，大量的统计是为了更好的推断，这就是一种估计，一种根据现有信息对可能性的一种猜测。
- 点估计：点估计指的是用样本数据估计总体的参数，估计的结果是一个点的数值，因此叫做点估计。这个定义非常宽泛，\(\hat{\theta}_m=g(x_1, x_2, ..., x_m)\)，其中几乎对 g 没有什么限制，只是说比较好的 g 会接近真实的 θ。
- 函数估计：是一种映射关系，如 \(y=f(x)+ϵ\)，其中 ϵ 是从 x 中预测不出来的，我们不关心，我们关心的是函数估计 f，函数估计是一种从输入到输出的映射关系。
偏差
估计的偏差定义为：\(bias(\hat{\theta}_m)=E(\hat{\theta_m})-\theta\)，这很好理解，估计与实际值之间的距离就是偏差，如果偏差为 0，则\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的无偏估计，如果在 m 趋近于无穷大时，偏差趋近于 0，则\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的渐进无偏。
方差
上面我们用估计量的期望来计算偏差，我们还可以用估计量的方差度量估计的变化程度，我们希望期望这两个值都较小。
对于高斯分布来说，我们有：
- 样本均值 \(\hatμ_m=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx^{(i)}\) 是高斯均值参数 μ 的无偏估计;
- 样本方差 \(\hatσ_m^2=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(x^{(i)}-\hatμ_m)^2\) 是 \(σ^2\) 的有偏估计；
- 无偏样本方差 \(\hatσ_m^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m(x^{(i)}-\hatμ_m)^2\) 是 \(σ^2\) 的无偏估计；
无偏样本方差显然是比较不错的，但是并不总是最好的，有时候某一些有偏估计也是很好的。比如在机器学习中，均值标准差就非常有用：
\[SE(\hatμ_m)=\sqrt{Var[\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx^{(i)}]}=\frac{σ}{\sqrt{m}}
\]
或者写成
\[σ_{\overline X}=\sqrt{Var(\overline X)}=\sqrt{\frac{1}{m}Var(X)}=\frac{σ}{\sqrt{m}}
\]
均方误差（MSE）
\[MSE=E[(\hatθ_m-θ)^2]=Bias(\hatθ_m)^2+Var(\hatθ_m)
\]
鱼和熊掌不可得兼，偏差和方差度量着估计量的两个不同误差来源，偏差度量着偏离真实函数或参数的误差，方差度量着数据上任意特定采样可能导致的估计期望的偏差，两个估计，一个偏差大，一个方差大，怎么选择？选择 MSE 较小的，因为 MSE 是用来度量泛化误差的。偏差和方差之和就是均方误差：
总结
本篇主要介绍了估计、偏差和方差，可以用来正式的刻画过拟合。
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