求极限基础
写在前面
虽然之前面授课听过,现在在网课上重听又会有新的感悟。当时觉得难的东西,在做过一定的题后有了一定的经验基础,现在反而觉得简单.总之考研数学就是要多做题,还要根据考点做题。杨超老师的手写版《139考研数学必做习题库》就很符合这一模式。好了总结一下求极限基础知识。
极限概述
极限有函数极限和数列极限
- 函数极限是主要考点，考察计算题
- 数列极限不是很重要，考察计算和证明
友情提示
基础阶段不用复习极限的定义，先把函数极限计算练好。暑假会着重讲定义
好了开始今天的主题七种未定型
七种未定型
1、哪七种？
$$
其中0/0和1^∞常考
$$
2、只有七种?
诸如0/∞,∞/0之类实际是一个确定的数(0或∞)
3、如何理解“0/0”？
- 小学的诸如3/0中的0是一个确定的数，是不能做分母的。
- 而极限中的“0/0”中的0意思是一个趋势并不是真的等于零，所以能做分母
4、x的趋势（无穷小量）如何理解？
- 函数极限为零时，无穷小量不一定要为0
- 可以是∞、±∞
- 也可以是常数
- 无穷小量是一个变量，并不是一个很小的数
5、去极限号定理
已知函数在某一点极限，则函数可以表示为极限值加一个无穷小量。
6、有限个无穷小相加（减）为无穷小
如果你的数学成绩不好，英语成绩不好，政治成绩也不好，专业成绩也不好，身体也不好不要灰心，毕竟无限个无穷小之和为1嘛XD
7、有界函数×无穷小为无穷小
-
这里涉及到了基本极限，其中基本极限sinx中的x可以替换
-
这里有一个小难点：红色方框中无穷大×有界量极限不存在
关于这一点提供两个例题
以上是七种未定型相关知识
无穷小阶的比较
8、无穷小阶的比较
比较高端一点的表述:无穷小阶的比较,比较的是趋于无穷小的速度
比较的结果就不赘述了。
9、关于高阶无穷小
- 极限等0,分子是分母的高阶高阶无穷小
- x趋于0时:x7,x5都是x3的高阶无穷小,,两者相加减仍为x3的高阶无穷小
- 运算性质:
- 相同的高阶无穷小相加减无穷小阶数不变
- 高阶无穷小的系数可以提到里面
- 与更低阶的无穷小相加被吸收
10、等价无穷小
在B站up@正学长,那里发现了比较简单的泰勒公式记忆方法，先留在这里。后续写到这里再来解释，也可以直接去看up的视频讲的很清楚。附链接https://b23.tv/Vu4kkr
说正事：以下是8种无穷小替换，其中红色下划线部分常考
具体到题中存在一些变形,比如cosx中的x变为一个函数,(1+x)a的a变为分数
11、等价无穷小替换定理
简单来说就是乘除可以替换，加减不行（在后面学到其实加减也可以）
等价无穷小可以分子分母同时替换,也可以只替换一个
- 一些例题
12、x->0时高阶无穷小更加具象的解释
描述高阶无穷小除了比较高端的速度快慢外其实还可以更加具象
- 将速度看做数字
- 快慢看成大小
- 这一概念就由抽象变具体
画
的部分解释了为什么高阶被低阶吸收
给个例题细细体会,分子分母中x2被吸收,只剩x1
关于无穷小的比较就写到这里,接下来是重点,在加减法中使用无穷小替换.
等价无穷小替换
13、无穷小替换
可以在乘除法中使用的替换是定性的替换，而如果想在加减法中使用的话，则需要定量也就是将近似转变为恒等。
图中sinx等于多少，其实泰勒公式已经告诉我们
那么具体如何使用呢？
首先在乘除法中我们只用到了近似值就能解决问题
sinx此时就近似的等于x
但是用在加减法中我们就需要Taylor展开
所以sinx-x=1/6x3因为Taylor展开式中x被减去,剩下的最低阶为1/6x3也就是sinx-x的值
再给几个例子自行体会
知道了这一点,再来看看往年如何出题,
可见这类考题涉及到x-sinax的部分不用犹豫,a必定等于x的系数
变下形,也大同小异
还有一类
这类也简单,极限值为1分子分母阶数相同,分子算出来剩x3,所以k=3
