卡特兰数

（最开始一直搞不清楚卡特兰数到底是什么，公式也不知道是用来算什么的）

后来看懂卡特兰数是通过 求带限制条件的路径条数 这个典型例子，所以这次就从这个例子来说

（图片来源与维基百科）

问题：在n x n的网格里从左下角走到右上角的不经过y = x 这条线的单调路径的条数，即只能向上或向右走

如果没有限制条件，那么就是n步向上，n步向右，所以条数为C\binom{n}{2n}

加上限制条件后，画图发现所有不合法的路都会经过 y = x + 1 这条线，那么把不合法的方案中第一个经过 y = x + 1 的点为对称点，把之后的路径关于 y = x + 1 对称，画下图就可以发现，原来到（n，n）的路径，现在都是到（n - 1，n + 1），同时可以发现不合法路径与这样的路径是一一对应的

所以不合法的路径条数就是从左下角到（n - 1，n + 1），所以条数为C\binom{n-1}{n-1+n+1}，即C\binom{n-1}{2n}

那么合法的路径条数就是  C_{n}=   C\binom{n}{2n}-C\binom{n-1}{2n}=  \frac{1}{n+1}C\binom{n}{2n}

这就是卡特兰数的通项公式了

还有其他的公式

递推公式1：C_{n}=C_{0} \times C_{n-1} + C_{1} \times C_{n-2}+\cdots \cdots + C_{n-1}\times C_{0}       C_{0}=1

递推公式2：C_{n} = \frac{C_{n-1} \times (4 \times n - 2)}{n+1}

 

典型应用：

1.求带限制条件的路径条数

2.求合法的括号序列的个数

3.出栈次序

4.买票找票问题     有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其                                它钞票，问有多少种方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元                                   入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

5.排队问题           现在有 2n 个人，他们身高互不相同，他们要成两排，每一排有 nn 个人，并且满足每一排必须是从矮到高，                                 且后一排的人要比前一排对应的人要高，问有多少种排法

还有一些没仔细研究的，先记下来

6.凸多边形三角划分     在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘                                         上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）

7.给定节点构成二叉搜索树  

 

posted @ 2018-08-20 20:01  任小喵  阅读(532)  评论(0)  编辑  收藏  举报