最小生成树简述及模板题

先补充一点图论的基本术语（基本复制于维基百科）

1.一个图的顶点集（点集）一般记作，当不发生混淆时可简记为。图的阶为其顶点数目，亦即||。以两个顶点

、为端点的边一般记作、或。一条边连接两个顶点u、v时，称u与v相邻。图的边集一般记作，当不发生

混淆时可简记为。

2.一个自环是两个端点为同一顶点的边。如果有多于一条边连接同一对顶点，则它们均被称为重边。一个图的重数是重复次数最多

的边的重复次数。如果一个图不含自环或重边，则称为简单图。多数情况下，如无特殊说明，可以假定“图”总是指简单图。

3.连通图：在无向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该无向图为连通图。

4.强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。

5.生成树：在无向图中，n个顶点只取n-1条边。生成树是连通图的极小联通子图，即如果再加一条边，必形成环

6.最小生成树：在所有生成树中，边代价和最小的生成树

最小生成树算法

包括prime算法和kruskal算法

一.prime算法，又称“加点法”

    1.基本思想：在一个带权连通图中，任取一顶点加入生成树中，标记，遍历所有点，找到离该点距离最近的点，标记，直至所

有顶点都加入到生成树中。（跟dijkstar思想很像）

    2.复杂度为O(n^2)，n为顶点数，用邻接表存，适用于稠密图

    3.上一个模板题   杭电1233  还是畅通工程  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1233

    代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 110;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
int mapp[maxn][maxn];
bool vis[maxn];
int dis[maxn];
int n;
int prime(int start){
    int ans=0;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        dis[i]=mapp[start][i];//记录起点出发的距离
        vis[i]=0;
    }
    vis[start]=1;   //加入任一点（或起点）
    int noww;
    for(int i=1; i<n; i++){
        int minn=inf;
        for(int j=1; j<=n; j++){
            if(!vis[j] && dis[j]<minn){//找到距离最短的
                minn=dis[j];
                noww=j;
            }
        }
        vis[noww]=1;
        ans+=minn;
        for(int j=1; j<=n; j++){
            if(!vis[j] && dis[j]>mapp[noww][j])//加入新的点后更新距离
                dis[j]=mapp[noww][j];
        }
    }
    return ans;
}
int main() {
    int u,v,d;
    while(~scanf("%d",&n)){
        if(n==0)  break;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=n; j++){
                mapp[i][j]=inf;
            }
        }
        for(int i=1; i<= n*(n-1)/2; i++){
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);
            mapp[u][v]=d;
            mapp[v][u]=d;
        }
        int ans=prime(1);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

二.kruskal算法，又称“加边法”

    1.基本思想：将边按权值从小到大排序，遍历，若该边两个端点不在一个树上，则加上，若在，则跳过继续下一条边，贪心思

想，并查集实现

    2.时间复杂度O(mlogm)，m为边数，用邻接表存

    3.还是上一个题

    代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e4+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
int n,m;
struct node{
    int u,v,val;
}s[maxn];
int fa[maxn],deep[maxn];
bool cmp(node x,node y){
    return x.val<y.val;
}
void init(){
    for(int i=0; i<=m; i++){
        fa[i]=i;
        deep[i]=1;
    }
}
int findd(int x){
    return fa[x]==x? x:x=findd(fa[x]);//查找
}
void Union(int x,int y){
    int fx=findd(x);
    int fy=findd(y);
    if(deep[x]<deep[y])
        fa[fx]=fy;
    else{
        if(deep[x]==deep[y])  deep[x]++;
        fa[fy]=fx;
    }
}
int kruskal(){
    int ans=0;
    init();
    for(int i=1; i<=m; i++){
        if(findd(s[i].u) != findd(s[i].v)){
            Union(s[i].u,s[i].v);
            ans+=s[i].val;
        }
    }
    return ans;
}
int main() {
    while(~scanf("%d",&n)){
        if(n==0)  break;
        m = n*(n-1)/2;
        for(int i=1; i<=m; i++){
            scanf("%d%d%d",&s[i].u,&s[i].v,&s[i].val);
        }
        sort(s+1,s+1+m,cmp);
        int ans=kruskal();
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}