算法学习：莫比乌斯反演

【前置知识】

【数论分块】

【问题描述】求令i从1到n，i整除k的和

【解决方法】显而易见的，1~n的某个区间内，i整除k的值是相同的，所以我们只需要找到这个区间，然后用区间个数乘以这个区间的贡献（即i整除k的值）

1  int res=0;
2  for(int d=1;d<=nn;) {
3         int enn = nn/(nn/d);
4         int en = min(enn,nn)；
5         res += (nn/d)*(d+en)*(en+1-d)/2;
6         d = en+1;
7     }

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【积性函数】

对函数F(X) ，满足当a，b互质时，有F(a*b)=F(a)*F(b)，则称函数F(X)为积性函数

积性函数一般都可以通过埃筛或者线性筛常数时间求取

此处列举几个比较重要且常用的积性函数

φ(x) : 欧拉函数，小于等于x且和x互质的数的个数

Ι (x)：函数值恒为1的函数

id(x): 函数值等于x的函数

ε(x)：元函数，只有当x等于1时为1，其余情况均为0

【莫比乌斯函数】

ti 是指第 i 个数的质因子的幂次方

函数定义是：

1.当n==1时，函数值等于1

2.当有质因子的幂次方大于1的情况，函数为0

3.当所有的质因子的幂次方都等于1时，函数为（-1）的k次方，k指不同的质因子的个数

求1~MAXN的莫比乌斯函数的代码板子

 1 int mu[MAXN], prime[MAXN],vis[MAXN],sum[MAXN];
 2 int cnt = 0;
 3 void init()
 4 {
 5     mu[1] = 1;
 6     cnt = 0;
 7     for (int i = 2; i < MAXN; i++)
 8     {
 9         if (vis[i] == 0)
10         {
11             mu[i] = -1;
12             prime[++cnt] = i;
13         }
14         for (int j = 1; j <= cnt && i*prime[j]<MAXN; j++)
15         {
16             vis[prime[j] * i] = 1;
17             if (i%prime[j] == 0)
18             {
19                 mu[i*prime[j]] = 0;
20                 break;
21             }
22             else
23             {
24                 mu[i*prime[j]] = -mu[i];
25             }
26         }
27     }
28     for (int i = 1; i < MAXN; i++)
29         sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
30 }