单源最短路Dijkstra算法——matlab实现
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。
基本思想
通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度),而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时,S中只有起点s;U中是除s之外的顶点,并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后,从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后,再从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作,直到遍历完所有顶点。
操作步骤
(1) 初始时,S只包含起点s;U包含除s外的其他顶点,且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如,U中顶点v的距离为(s,v)的长度,然后s和v不相邻,则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k",并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。
MATLAB代码实现如下:
function [mydistance,mypath]=mydijkstra(a,sb,db); % 输入:a—邻接矩阵(aij)是指i到j之间的距离,可以是有向的 % sb—起点的标号, db—终点的标号 % 输出:mydistance—最短路的距离, mypath—最短路的路径 n=size(a,1); visited(1:n) = 0; distance(1:n) = inf; % 保存起点到各顶点的最短距离 distance(sb) = 0; parent(1:n) = 0; for i = 1: n-1 temp=distance; id1=find(visited==1); %查找已经标号的点 temp(id1)=inf; %已标号点的距离换成无穷 [t, u] = min(temp); %找标号值最小的顶点 visited(u) = 1; %标记已经标号的顶点 id2=find(visited==0); %查找未标号的顶点 for v = id2 if a(u, v) + distance(u) < distance(v) distance(v) = distance(u) + a(u, v); %修改标号值 parent(v) = u; end end end mypath = []; if parent(db) ~= 0 %如果存在路! t = db; mypath = [db]; while t ~= sb p = parent(t); mypath = [p mypath]; t = p; end end mydistance = distance(db); return