斐波那契数列,计算复用(Computational Reuse)

0,1,1,2,3,5,8...这种数列大家都看过如果算出第N列的值得算法.

其中广为流传最经典的为:

public static ulong Fib(ulong n)

{

    return (n == 1 || n == 2) ? 1 : Fib(n - 1) + Fib(n - 2);

}

 

许多人在面试时写出这样的代码可能心里还会暗爽。但是如果用这段代码试试计算Fib(100)我想就再也爽不起来了，估计下星期甚至下个月前结果很难算得出来。

 

这是一个非常典型的忽视“计算复用”的例子。计算复用的目标在于保证计算过程中同一计算子过程只进行一次，通过保存子过程计算结果并复用来提高计算效率。其实类似上面的代码出现在很多教科书中，如果是为了展示斐波那契数列的数学特性当然无可厚非，但是作为计算机程序就很有问题了。因为数学和计算科学是有区别的，数学要求严谨和简洁的表达，而计算科学则需要尽量快的得出结果，好的数学公式未必是好的计算公式。这也说明程序设计不是简单的将数学语言翻译为计算机语言就可以了，程序员应该能将数学语言首先翻译成计算科学语言（算法？），然后再翻译成机器语言。因此程序员的工作绝不是机械的，而是要有一定的创造性，所以必要的算法知识对程序员至关重要，因为算法教会程序员如何用最有效率的方式去编写程序。 

 

 

01	public static ulong Fib(ulong n)

02

{

03	if (n == 1 || n == 2)

04

{

05

return 1;

06

}

07	ulong m1 = 1, m2 = 1;

08	for (ulong i = 3; i <= n; i++)

09

{

10	m2 = m1 + m2;

11	m1 = m2 - m1;

12

}

13

14	return m2;

15

}

这段代码可能看起来不如上一段那么优美，但是其效率却是第一段代码不可比拟的。例如计算Fib(40)，在我的机器上，第一段代码用时3.5秒，而第二段代码小于0.001秒。这个差距随着规模增大会更明显，例如Fib(100)，第一段代码可能需要几天甚至几周，而第二段代码耗时仍然小于0.001秒。天壤之别！

如果从计算复杂性的角度分析，第一段代码的复杂度为O(1.6^n)，对数学敏感的朋友应该能体会到这个函数可怕的增长速度，这甚至不是一个多项式级别的复杂度，而第二段代码仅为O(n)。看到如此简单一个例子出现如此差别，还能说程序员学习算法没有用吗。

上面代码对于“计算复用”的思想体现不是很明显，因为我们仅仅需要一个结果，中间结果都被丢弃了，如果是计算1<=i<=n的所有Fib(i)，那么计算复用的思想就会体现的比较明显。