CF1009E 题解

数学题，可见答案求的是所有代价的和。

考虑每个 $a_{i}$ 会被计算几次，发现对于一个 $a_{i}$ ，它的贡献是 $\sum_{i = 1}^{n - i + 1} i \times C_{n - i + 1}^{n - i}$ 。例如，样例 $2$ 中 $a_{1}$ 的贡献是 $(4 \times 1 + 3 \times 3 + 2 \times 3 + 1 \times 1) \times a_{1} = 20$ 。

但是直接做是 $O (n^{2})$ 的，考虑化简，把式子 $\times 2$ ，变成（暂时把上式中 $n - i + 1$ 看成 $N$ ）：

原式 $= \frac{N \times C_{N}^{0} + 1 \times C_{N}^{N - 1} + (N - 1) \times C_{N}^{1} + 2 \times C_{N}^{N - 2} + . . .}{2}$

$= \frac{(N + 1) \times \sum_{i = 0}^{N - 1} C_{N}^{i}}{2}$

$= \frac{(N + 1) \times 2^{N - 1}}{2}$

$= (N + 1) \times 2^{N - 2}$

把 $N = n - i + 1$ 代入，得原式 $= (n - i + 2) \times 2^{n - i - 1}$ 。

最后答案便是 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \times (n - i + 2) \times 2^{n - i - 1}$ ，时间复杂度 $O (n)$ 。

注意指数可能为负，稍微改改快速幂就行。

Talk is cheap, show me the code.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef pair<int,int> Pii;
const int N=1e6+5,Mod=998244353;
int n;
int a[N];
int ans=0;
inline int qp(int a,int b,int res=1)
{
	bool f=b<0;b=abs(b);
	while(b)
	{
		if(b&1)res=res*a%Mod;
		a=a*a%Mod;b>>=1;
	}return f?qp(res,Mod-2):res;
}
signed main()
{
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		(ans+=(n-i+2)*qp(2,n-i-1)%Mod*a[i]%Mod)%=Mod;
	} 
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}