2021.12.16 模拟赛

今日份自闭。

T1 排列2

知道析合树的话就有方向了，其实就是在 DP \(n\) 个点有多少种不同形态的析合树。

析合树就是把连续段看作点，儿子有序为合点，否则为析点。那么合点至少有 \(2\) 个儿子，析点至少有 \(4\) 个儿子（例：\(2,4,1,3\)）。

DP 设 \(f_i(n)\) 表示根有 \(i\) 个儿子 \(n\) 个点的析合树个数，转移就是从 \(i-1\) 加一个儿子，卷卷卷。

根节点有 \(4\) 个儿子及以上的树，按根节点是析还是合，要算两遍。所以只需要考虑 \(2\)、\(3\)、至少 \(4\) 共三种状态，\(\mathcal O(n^2)\)。

T2 升级

设 \(f_i\) 为 \(i\) 到 \(n\) 的期望步数不好推。

设 \(f_i\) 为 \(i\) 到 \(i+1\) 的期望步数，可以得到

\[f_i=p+(1-p)\left(1+\sum_{j=\max(i-a,0)}^if_j\right) \]

\[f_i=\frac 1p+\frac{1-p}{p}\sum_{j=\max(i-a,0)}^{i-1}f_j \]

矩阵转移可以快速幂，\(\mathcal O(a^3\log n)\)。

还有一些零碎的小 Subtask 要特判。吐槽出题人 std 写挂了。

T3 定价

似乎就是暴力模拟，码农题。

等我什么时候精力旺盛了再写吧。